LISTE EX TRIGO 1S1 DEC . 09

             LISTE D'EXERCICES DE TRIGO               1S1          16 Décembre 2009

               EXERCICE 1.

                    On considère le repère orthonormal direct

                   .

                    Sur le cercle trigonométrique on considère les points

                    K(  θ )  , K '  (  Π / 2 +  θ)  , M(   θ  +  θ ' )  où  θ et  θ ' sont des réels quelconques.

                                                                                 

                    1. Faire une figure.

                   2. Donner les coordonnées des points K , K ' et  M en fonction de  θ et  θ '.

                       Exprimer chacun de vecteurs    comme combinaison linéaire

                       des vecteurs  .

                  3.  On considère à présent le repère orthonormal direct

                       .

                        a. Dans ce nouveau repère orthonormal donner les coordonnées

                             du point M. ( On remarquera que  θ ' est une  abscisse curviligne du point M

                              sur le cercle trigo avec le nouveau repère orthonormal

                              . )

                       b.  Exprimer alors le vecteur     comme combinaison linéaire des vecteurs

                             .

                       c. Puis exprimer    de nouveau comme combinaison linéaire des vecteurs

                           .

                     4.  En déduire deux formules trigo qui expriment  cos (  θ  +  θ '  )

                             et sin(  θ  +  θ ' ).

                     5.  En changeant  θ ' en  -  θ'  dans chacune des deux formules trouvées

                          établir deux autres formules.

                      6. a.  Dans le cas où   θ =  θ'  donner deux formules qui expriment

                                cos ( 2 θ ) et sin ( 2 θ ).

                          b.  En déduire les formules de linéarisation:

                                             cos²  θ = ( 1 + cos(2 θ )  ) / 2 

                                            sin²  θ = ( 1 - cos(2 θ )  ) / 2 

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              BILAN DE L'EXERCICE 1

                        Au terme de cet exercice vous devrez avoir constaté que :

                       cos(  θ  +  θ ' ) = cos  θ  cos  θ ' -  sin θ  sin θ'

                       sin(  θ  +  θ ' )  = sin θ  cos  θ ' +  cos θ  sin θ'

                       cos(  θ  -  θ ' )   =  cos  θ  cos  θ ' +  sin θ  sin θ'

                       sin(  θ  -  θ ' )  = sin θ  cos  θ ' -  cos θ  sin θ'

                       cos ( 2 θ ) = cos² θ -  sin² θ 

                        cos ( 2 θ )  = 2 cos² θ   - 1 

                        cos ( 2 θ )  = 1 - 2 sin² θ 

                        sin ( 2 θ ) = 2 sin θ   cos θ 

                                  θ  et   θ'  étant deux réels quelconques.

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          EXERCICE 2

                 a. Résoudre dans l'intervalle [ - Π , 3 Π / 2 ] l'équation:

                         2 cos² x - 3 cos x + 2 = 0

                  b . Résoudre dans  l'intervalle [ - Π , 3 Π / 2 ] l'équation :

                              cos² x - 3 cos x + 2 = 0

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            EXERCICE 3

                       Résoudre dans IR l'équation : cos x + sin x = 1 / √2

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