SPE TES

n \ a	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
3	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
4	0	2	2	0	0	2	2	0	0	2	2	0
5	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
6	0	2	0	0	2	0	0	2	0	0	2	0
7	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
8	0	6	6	4	4	2	2	0	0	6	6	4
9	0	6	6	6	3	3	3	0	0	0	6	6
10	0	2	6	2	0	0	2	6	2	0	0	2
11	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
12	0	2	6	0	8	6	6	8	0	6	2	0
13	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

a. Vérifier à l'aide du tableau les résultats trouvé à la première question.

REPONSE:

OUI. Dans la colonne de a = 5 on trouve les restes 0 ; 2 ; 4 aux lignes n = 2 ; n = 6 ; n = 8

b. Factoriser a² − a où a est un entier naturel quelconque .

Démontrer que pour tout entier naturel a ,

le reste de la division euclidienne de a² − a par 2 est nul.

REPONSE:

• On a directement: a² − a = a ( a − 1 ) pour tout entier naturel a

• Disjonction de cas:

• • Si a est pair alors a ( a − 1 ) est pair .

• • Si a est impair alors a − 1 est un entier relatif pair, donc a ( a − 1 ) est pair .

Donc a ( a − 1 ) est pair pour tout entier naturel a .

c-à-d a² − a est divisible par 2 pour tout entier naturel a .

Conclusion : La division euclidienne de a² − a par 2 est nul tout entier naturel a .

c. Démontrer que pour tout entier naturel a ,

le reste de la division euclidienne de a³ − a par 3 est nul.

REPONSE:

Soit a un entier naturel a quelconque.

On a : a³ − a = a ( a² − a ) = a ( a − 1 )( a + 1 )

Les restes possibles dans la division de a par 3 sont 0 ; 1 ; 2

c-à-d a ≡ 0 [ 3] ou a ≡ 1 [ 3] ou a ≡ 2 [ 3]

c-à-d a ≡ 0 [ 3] ou a − 1 ≡ 0 [ 3] ou a + 1 ≡ 3 [ 3]

c-à-d a ≡ 0 [ 3] ou a − 1 ≡ 0 [ 3] ou a + 1 ≡ 0 [ 3]

Donc: a( a − 1 ) ( a + 1 ) ≡ 0 [ 3]

c-à-d a³ − a ≡ 0 [ 3] 0 ≤ 0 < 3

c-à-d Le reste de la division de a³ − a est nul, tout entier naturel a .

Conclusion : Les restes de la division de a³ − a

par 3 sont nuls pour tout entier naturel a

d. Quelles sont les entiers naturels n pour lesquels il y a une ligne de 0

dans le tableau? Que peut-on remarquer sur ces entiers naturels n?

REPONSE:

Pour n est 2 puis 3 puis 5 puis 7 puis 11 puis 13 on a une ligne de 0.

2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 sont les nombres premier de 2 à 13.

e. Emettre une conjecture.

REPONSE:

On vient de constater que pour n nombre premier entre 2 et 13,

d'après le tableau, le reste de la division euclidienne de aⁿ − a

par n est nul , pour tout entier naturel a entre 0 et 12.

Conclusion: Conjecturons:

<< Il semble que quand n soit un entier premier , aⁿ − a soit

divisible par n tout entier naturel a >>

f. Peut-on envisager que:

a^p ≡ a [ p ] pour tout entier naturel a et tout nombre premier p ?

REPONSE:

Soit p un nombre premier.

a^p ≡ a [ p ] s'écrit a^p − a ≡ 0 [ p ]

c-à-d a^p − a est un multiple de p

c-à-d p | a^p − a

Ce qui est la conjecture que l'on vient de proposer.

Conclusion: Cela peut convenir comme conjecture.

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Remarque::

Soit le petit Th. de Fermat.

Soit p un entier naturel tel que p ≥ 2.

p nombre premier ⇒ ( ∀ a ∈ IN p | a^p− a )

Sa contra posée est :

( Il existe au moins un a ∈ IN / p ne divise pas a^p− a ) ⇒ p n'est pas premier

On considère souvent a = 2.

Alors la contraposée s'écrit :

Soit p un entier naturel tel que p ≥ 2 .

( p ne divise pas 2^p− 2 ) ⇒ p n'est pas premier

Attention: p divise 2^p− 2 n'implique pas que p soit premier.

Par exemple : Soit 341 = 11× 31

341 n'est pas premier.

A-t-on cependant : 341 | 2³⁴¹− 2 OUI.

En effet:

On a : 2¹¹ = 2048 = 2 + 341× 6

Donc : 2¹¹ ≡ 2 [ 341 ] cà-d ( 2¹¹− 2 ≡ 0 [ 341 ] 341 | 2¹¹− 2 )

D'où : ( 2¹¹)³¹ ≡ 2³¹ [ 341 ]

c-à-d 2³⁴¹≡ 2³¹ [ 341 ]

Mais : 2³¹ = 2147483648 = 2 + 341 × 6297606

D'où 2³¹ ≡ 2 [ 341 ] c-à-d ( 2³¹ − 2 ≡ 0 [ 341 ] 341 | 2³¹ − 2 )

Donc 2³⁴¹≡ 2 [ 341 ]

c-à-d 2341 − 2 ≡ 0 [ 341 ]

c-à-d 341 | 2³⁴¹− 2

Or : 341 n'est pas premier. C'est un nombre composé

Remarque:

On peut voir que : 341 | 2³⁴¹− 2 341 | 2¹− 2 341 | 2³¹ − 2 341 | 2¹¹− 2

avec 341 ; 1 ; 31 ; 11 qui sont tous les diviseurs de 341

L'entier 341 est, dans ce cas, appelé " nombre de Poulet."

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