EX Dériv. 1S mars 2010

              EXERCICE SUR LA DERIVATION 1S   MARS 2010      

                 EXERCICE      

                 BUT: Savoir trouver l'expression d'une fonction.

                 On dispose de la forme, a x² + b x + c où a , b ,c  sont dans IR,

                 de l'expression de la fonction f définie dans IR.

                  A l'aide des informations données , trouver son expression 

                  dans chacun des cas.

                  ( On résoudra un système chaque fois. )

  1. Soit  f( 2 ) = 1   et   f ' ( 2 ) = 1  et f( 0 ) = - 0,5 . 

  2.  Soit  f ' ( 1 ) = 1 / 3   et  f( 1 ) = 2  et f( 0 ) = 2   .

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            Réponse:

                1. 

                               

                        Soit x dans IR.

                    On a :         f( x ) = a x² + b x + c   et    f '( x ) = 2 a x + b

                     Le système des informations     f( 2 ) = 1   et   f ' ( 2 ) = 1  et   f( 0 ) = - 0,5 donne :

                            4 a + 2 b + c = 1               

                            4 a + b = 1                        

                              c = - 0,5                            

                      c-à-d 

                            4 a + b + b  = 1,5   

                            4 a + b = 1

                            c = - 0,5

                       c-à-d

                             b = 1, 5 - 1 = 0,5

                             a = ( 1 - b ) / 4 = 0,5 / 4 = 0,125

                             c = - 0 , 5           

    Conclusion:  f( x ) =  0,125 x² + 0,5 x - 0,5  avec x dans IR                                                                                                                                                                                                         

          2.    Soit x dans IR.

                    On a :         f( x ) = a x² + b x + c   et    f '( x ) = 2 a x + b

                     Le système des informations:

                     f ' ( 1 ) = 1 / 3   et  f( 1 ) = 2  et f( 0 ) = 2   donne:

                           2 a + b = 1 / 3

                          a + b + c = 2

                          c = 2

                  c-à-d    

                                 2 a + b = 1 / 3

                                  a + b = 0

                                  c = 2

                       c-à-d

                               2a - a = 1 /3

                               b = - a

                                c  = 2

                        c-à- d

                                a = 1 / 3

                                 b = - 1 / 3

                                 c = 2            

                        Conclusion :   f( x ) = ( 1 / 3 ) x2 - ( 1 / 3 ) x + 2  avec x dans IR.   

                                                                                          

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