INFO EX 3 Feuille d'ex sur les suites 8 Sept. 2012 TS

                     INFO EX 3    Feuille d'exercices sur les suites    sept  2012 TS 

          EXERCICE 3             Fait en classe le  10 sept 2012                      

                              Soit la suite récurrente  (  u) définie par :

                                    u=  0,64

                                   un + 1  = 1 + 2 √ un   pour tout n dans IN

                            On admet que cette suite est à termes positifs.

                           Etablir par récurrence  que     un+1  -   un  ≥ 0   pour tout n dans IN.

                            Qu'en déduisez-vous?

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          REPONSE:  

                            Faisons une récurrence sur IN

               • n = 0

                   On a          u=  0,64    

                  et                u= 1 + 2 √  0,64  = 1 + 2 × 0,8 = 2,6

                Donc            u1    u0  = 2, 6 - 0,64 = 1,96

                Or                   1, 96 ≥ 0

                Donc           u1    u0  ≥ 0

                     L'inégalité est vraie pour n = 0

              • Soit n dans IN quelconque.

                Montrons que si  un+1  -   un  ≥ 0   alors   un+2  -   un+1  ≥ 0 .

               Considérons   un+1  -   un  ≥ 0  

                   c-à-d       un+1      un  

                 Comme la suite est à termes positifs ( admis ) et que la fonction √

                 est croissante sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [   on a :

                  √ un+1     √ un  

                  Donc        2  √ un+1     2 √ un     

                  puis          1 +  √ un+1     1 + 2 √ un   

                  c-à-d        un+2  -≥   un+1 

                  c-à-d        un+2  -   un+1  ≥ 0

                  Conclusion : L'inégalité est prouvée dans IN      

                  On en déduit que la suite ( u ) est croissante sur IN.