INFO DV n° 1 SUITES TS Sept 2012

                Devoir n° 1   TS1                 Pour le 21 septembre 2012

            EXERCICE 1

                  Soit la suite récurrente ( un ) définie sur IN par:

                               u0   = 2

                               un + 1     = 0,5 un  + 0,5   pour tout n dans IN.

                  Soit   vn  = un  - 1  pour tout n dans IN.

                  Le plan est muni d'un repère orthonormal.

              1. Réprésenter à l'aide d'un web les premiers termes de la suite ( un )

                 sur l'axe des abscisses.

                Réponse :

                       WEB           web-dv1-ts1.gif

              2.  Que pouvez- vous conjecturer quant au sens de variation de 

                  la suite ( un ) ?

                  Réponse: 

                   Il semble que les premiers termes de la suite soient dans l'ordre décroissant.

                  Conclusion :  On peut donc conjecturer que la suite est décroissante sur IN.

              3. Justifier par récurrence sur IN cette conjecture.

                    Raisonnons par récurrence dans IN.

                    Montrons que  un + 1 ≤ un    pour tout n dans IN

                     •n = 0

                                u0  = 2     et  u 1   = 0,5 × 2 + 0,5 = 1,5

                                On a     1,5 ≤ 2 

                                Donc  un + 1 ≤ un     est vraie pour n = 0

                       • Soit n dans IN quelconque.

                          Montrons que si   un + 1 ≤ un    alors    un + 2 ≤ un + 1 

                          Considérons      un + 1 ≤ un 

                          Donc    0,5 ×un + 1  ≤  0,5× un     

                          c-à-d      0,5 ×un + 1 + 0,5 ≤  0,5× un  + 0,5

                          c-à-d      un + 2   ≤   un + 1 

                         Conclusion : La suite ( un ) est bien décroissante sur IN

              4. Etablir que 0 ≤  un  ≤ 2  pour tout n dans IN .

                   Réponse: 

                  ¤ Déjà, comme la suite ( un ) est décroissante et u0 = 2 ,

                     on peut en déduire :

                      Conclusion :   un  ≤ 2  pour tout n dans IN.

                   ¤ Faisons une récurrence sur IN pour établir que

                       0 ≤  un    pour tout n dans IN.

                   • n = 0

                      0 ≤ 2     Donc   0 ≤  un    pour n  = 0

                    • Soit n dans IN quelconque.

                       Montrons que si     0 ≤  un   alors   0 ≤  un + 1 .

                    Considérons   0 ≤  un  

                   Alors      0 ≤  0, 5 ×un + 0,5  

                    c-à-d       0 ≤  un + 1   

                     Conclusion: La suite est bien à terme positifs sur IN.

              5. Démontrer que la suite ( vn ) est géométrique.

                  Réponse: 

                 Pour cela cherchons un réel q tel que   vn + 1 = q vn   pour tout n dans IN.

                 Considérons :

                       Soit n dans IN.

                        vn + 1 =  un + 1  - 1 

                        Or 

                        un + 1 = 0,5 un  + 0,5 

                         Donc en reportant

                            vn + 1 =   0,5 un  + 0,5   - 1 

                         c-à-d 

                            vn + 1 =   0,5 un  - 0,5   

                          c-à-d

                              vn + 1 =   0,5 ×(  un  - 1 )                      

                           Mais   un  - 1 = vn      

                          D'où en reportant

                                vn + 1 =   0,5 ×  vn        pour tout n dans IN

                    Conclusion : La suite ( vn ) est géométrique de raison 0,5

              6. Exprimer  vn  en fonction de n.

                   Réponse:

                        v0 = u0 - 1      mais  u0 - 1  = 2 - 1 = 1

                    Donc

                                  v0 = 1

                   Son terme général est:  

                              vn =  v0  × 0,5n       où n est dans IN

                               vn =  1 × 0,5n     pour tout n dans IN

                    Conclusion:     vn =  0,5n     pour tout n dans IN

                En déduire l'expression de  un  en fonction de n.

                        Comme  un = vn + 1   

                       On a :

                   Conclusion :     un = 1 +  0,5n       pour tout n dans IN

             7.  Etablir que la suite (  un  ) converge vers 1.

                    Comme  0 < 0,5 < 1  on a :

                            lim 0,5n   = 0

                            n → + ∞

                    Donc    lim ( 1+   0,5n  ) = 1 + 0 = 1

                                n → + ∞

                          c-à-d      lim  un  = 1

                                         n → + ∞

                      Conclusion : La suite ( un ) converge vers 1

           8. Calculer la somme  u0 + ..... +  un  en fonction de n.

                   On a :    u0 + ..... +  un  = ( 1 + v0 ) + ..... + ( 1 +vn  )

                          c-à-d     u0 + ..... +  un  = ( n +1 ) + v0  + ..... + vn  

                             somme-dv1.gif

                sommebis-dv1.gif

   -----------------------------------------------------------------------------------------------------------

            EXERCICE 2

                   Soit la suite ( wn )  définie sur IN* de terme général  

                         wn   = 1 / ( n ( n +1)  )   pour tout n dans IN*.

                1. Trouver deux réels a et b tels que :

                          wn   = a / n   + b / ( n + 1 )      pour tout n dans IN*

                          Réponse:

                           Considérons :   

                            ex2-dv1-2.gif

                            c-à-d

                                identification-2.gif 

                          Conclusion:   a =1    et  b = - 1 

                              Autre méthode: 

                                    On peut remplacer le numérateur 1

                                     par  ( n + 1 ) -  n

                                    Soit n dans IN*.

                                   On a :    1 / ( n ( n + 1 ) ) = ( ( n + 1) -   n ) / ( n ( n + 1 ))

                                           c-à-d    1 /( n ( n + 1 ) ) =  ( n + 1 ) /( n  ( n + 1) ) -   n /( n (n + 1 ))

                                            c-à-d         1 / ( n ( n + 1 ) ) = 1 / n    -    1 / ( n + 1)

                                              Conclusion:  a = 1 et b = - 1

           2.  Soit la somme: 

                        somme-de-n-termes-1.gif         

                     pour tout n dan IN*.

                    En écrivant verticalement les termes de la suite ( wn  ),              

                   vérifier  que   Sn  = 1 -  1/ ( n + 1 )    pour tout n dans IN*  .

                         Réponse:    

                        Soit n dans IN*.       

                    somme-ter.gif

                      Ainsi :

                    Conclusion :  pour tout   n  dans IN* 

                          serie.gif

             3. La suite 

                            s-indice-n-3.gif       

                   est -elle convergente?

                    Réponse:    On a  :      lim  1 / ( n + 1 ) =0

                                                         n → + ∞

                       Donc        lim [ 1  - 1  / ( n+1 ) ] = 1 - 0 = 1

                                           n→ + ∞

                    Conclusion : Oui . La suite converge vers 1.

                               

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

                     EXERCICE 3

                  Montrons que         ( 1 + x )n    ≥ 1+ nx   pour tout n dans IN  

                               où x est un réel positif.

             Réponse:      

    C'est une simple récurrence sur IN , x étant fixé dans IR+ .

             •  n = 0

                  On a :   ( 1 + x )n    = ( 1 + x )0 = 1

                        et     1 + n x = 1 + 0 = 1

                  Donc   l'inégalité    ( 1 + x )n  ≥ 1 + n x   est vraie pour n = 0

            • Soit n dans IN quelconque.

           Montrons que si  ( 1 + x )n  ≥ 1 + n x    alors   ( 1 + x )n + 1  ≥ 1 + ( n+ 1 ) x   .

                  Considérons :

                    ( 1 + x )n  ≥ 1 + n x

           Comme  1 + x > 0 on déduit en multipliant chaque membre par 1 + x :

                      ( 1 + x )n  ×  ( 1 + x )  ≥ ( 1 + n x ) ×( 1 + x )

             c-à-d      

                       ( 1 + x )n + 1   ≥  1 +nx + x + n x2

             c-à-d 

              ( 1 + x )n + 1   ≥  1 +( n + 1 ) x + n x2

           Comme   n x2  ≥ 0   on en déduite que 

                ( 1 + x )n + 1   ≥  1 +( n + 1 ) x + n x2  ≥ 1 + ( n + 1 ) x

          puis :    ( 1 + x )n + 1   ≥ 1 + ( n + 1 ) x

                Conclusion : Le résultat est avéré.

------------------------------------------------------------------------------