INFO UTILISATION :SUITES

                           INFO      NOTIONS SUR LES  MISE EN OEUVRE DES SUITES                 1S           22 MAI 2010  

    Problème

       On dispose de la suite récurrente ( u ) définie sur IN par :

              u0    = - 4

              un + 1    =  (  1 / 4 ) un    + 3    pour tout n dans IN.

      D'autre part on dispose de la suite ( v ) définie sur IN par:

              vn     = un    -  4   pour tout n dans IN.

      Le but du problème est de calculer finalement la somme Sn  des  n + 1

      premiers termes de la suite ( u ).

      Mais la suite ( u ) n'est pas géométrique ni arithmétique.

      Aussi pour y parvenir on montre que la suite ( v ) est géométrique , ce qui permet

      trouver la somme des n + 1  premiers termes de la suite ( v ) , que l'on note  sn  ,

     On en déduit alors   Sn .

     1. Calcul de  u1   ,   u2   ,  u3  .

      On a:     u1  =  ( 1 / 4 )  u0 +  3     et       u0   = - 4

      Donc:      u1   =  ( 1 / 4 )× ( - 4 ) + 3  =  - 1 + 3

                       u1  = 2  

     On a:         u2  =  ( 1 / 4 )  u1 +  3 

    Donc:          u2   =  ( 1 / 4 ) × ( 2 ) + 3   = 3 , 5 

                      u2   =  7 / 2

    On a:        u3  =  ( 1 / 4 )  u2 +  3    

    Donc:        u3   =  ( 1 / 4 ) × ( 7 / 2  ) + 3   =  7 / 8 + 3 

                         u3   =    31 / 8     

         2. Exprimons   vn + 1  en fonction de vn    .

           Soit n dans IN.

            On a :            vn + 1  = un + 1     -  4

              Or                un + 1   = ( 1 / 4 ) u+ 3 

         Donc                 vn + 1  =   ( 1 / 4 ) u+ 3        -  4

         c-à-d                 vn + 1  =  ( 1 / 4 )   u    - 1

         Mais                   un     =  vn   + 4 

       D'où             vn + 1  =  ( 1 / 4 )  ( vn   + 4    )    - 1

        c-à-d            vn + 1  =  ( 1 / 4 ) vn    + 1  - 1

    Ainsi :            vn + 1  =  ( 1 / 4 ) vn   

        Conclusion:       vn + 1  =  ( 1 / 4 ) vn      pour tout n dans IN

       b.Déduisons que la suite ( v ) est géométrique.    

                     On a :  vn + 1  =  q  vn    pour tout n dans IN.

                 Conclusion:  La suite ( v ) est bien géométrique de raison q = 1 / 4.

                    On a  :        v0 =    u0 -  4    

                     c-à-d         v0 =    - 4  -  4    = - 8                    

                Conclusion:     son  premier terme est   v0 = - 8  

         c.  Ecrivons  vn    et   un    en fonction de n.

                On a :      vn  =   v0  qn         pour tout n dans IN.

                                 Ainsi :

                 Conclusion:     vn  =  - 8  ×  ( 1 / 4 )n   pour tout n dans IN .    

        3. Donnons les limites des suites ( v ) et ( u ).

                    On a :           0 < 1 / 4 < 1          

                   Donc             lim (  1 / 4 )n    = 0 

                                        n → + ∞

                  Ainsi :              lim - 8 ×(  1 / 4 )n    = 0 

                                           n → + ∞

                        Conclusion:     lim vn  = 0   

                                               n → + ∞ 

              On a :        un   =  4 +   vn       pour tout n dans IN.

              De plus  :             lim (  4 +   vn  ) = 4 + 0 = 4

                                           n → + ∞

            D'où :        

                            Conclusion:     lim un  = 4     

                                             n → + ∞ 

          On dit que la suite ( v ) converge vers 0 et que la suite ( u ) converge vers 4.

        4. Exprimons  sn    et   Sn    en fonction de n.

          La raison de la suite géométrique ( v ) n'est pas égale à 1 .

            C'est     q = 1 / 4 .

          On a :    v0    = - 8   

            Soit n dans IN quelconque .

          sn    est la somme des  n + 1 premier termes de la suite géométrique ( v ).

          Ainsi  on a :

           sn    =  v0     ( 1 - qn + 1  )  / ( 1 - q )

            c-à-d 

             sn    = - 8   ( 1 - (  1 / 4 )n + 1    ) /  (  1 - ( 1 / 4 ) ) 

          c-à-d

             sn    = - 8   ( 1 - (  1 / 4 )n +  1    ) /  (  3 / 4 )  

         c-à-d

             sn    = - 8  ( 4 / 3 )   ( 1 - (  1 / 4 )n + 1  )  = -  ( 32 / 3 )   ( 1 - (  1 / 4 )n + 1  ) 

     Conclusion:      sn    = ( 32 / 3 )   ( (  1 / 4 )n + 1  - 1 ))   pour tout n dans IN.

                  Mais :

                      un  =  4 +  vn           pour tout n dans IN.

               Donc

                    u0  + .........+   un   =  (  4 +  v0   ) + ( 4 +  v1 )+ ...... + (  4 +  vn )                            

                 D'où

                             Sn    = 4 × (  n + 1 ) +  sn   

     Conclusion:      Sn    = 4 ( n + 1 ) + ( 32 / 3 )   ( (  1 / 4 )n + 1  - 1 ))     pour tout n dans IN.

 --------------------------------------------------------