ALGEBRE DE BOOLE RAPPELS

RAPPELS SUR L'ALGEBRE DE BOOLE            BTS1        DEC. 08

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            1. ASPECT THEORIQUE.

            Une algèbre de Boole est un ensemble E ( non vide ) , dont les éléments 

             sont des variables notées a , b , c , d , e , f , g   .... etc

              " dites booléennes"  qui ne peuvent prendre que

              deux valeurs  0 ou 1, muni  de trois opérations.

                   +   " la somme booléenne"  définie par :  

a b  a + b
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

                   •   le "produit booléen"défini par:

a b  a b
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

                  ¯  la "complémentation" définie par:

a a 
0 1
1 0

                   et qui ont des particularités.

       +  est Associative.                      ( a + b) + c = a + ( b + c ) = a + b +c

       + admet 0 comme élément Neutre.   a  +  0  =  0  +  a  =  a

       + est commutative.                       a  +  b   =  a  +  b

       + est Distributive par rapport à  •      a  + ( b • c ) = ( a + b ) • ( a + c )

        •  est Associative.                       ( a •  b) •  c = a •  ( b •  c ) = a •  b • c

        •  admet 1 comme élément Neutre.         a  •  1  =  1  •  a  =  a

        • est Commutative.                                       a  •  b   =  a  •  b

        • est Distributive par rapport à  +         a  • ( b + c ) = ( a • b )+  ( a • c )

         Existence d'un complémentaire a pour tout a dans E

         a + a  = 1         a  • a  = 0    pour tout a dans E

     2. EXEMPLE.

           L'ensemble des propositions mathématiques

             avec les opérations   "ou "    "et "   "NON" .     

     3. PROPRIETES DE L'ALGEBRE DE BOOLE  E ( + ,  • ,   ¯  )

        Soit a  , b , c  trois variables booléennes c-àd trois éléments de E.

      ◊ Pour tout a dans E      ( Idempotence )

            a + a = a            Aucun multiple                     TRES IMPORTANT

            a  • a   = a          Aucune puissance               TRES IMPORTANT

       ◊   Pour tout a et tout b dans E     ( Absortion )

              a + ( a • b )  = a        TRES IMPORTANT

               a •  (a + b  ) = a       

         ◊  Pour tout a et tout b dans E     (  Lois de Morgan )

             La complémentation de   a + b  est   a  •  b       TRES IMPORTANT

             La complémentation de   • b   est   a  +  b       TRES IMPORTANT

           ◊  Pour tout a et tout b dans E

                a + 1 = 1             TRES IMPORTANT

                 a •  0 = 0              TRES IMPORTANT

                a + ( a  • b  ) = a + b      ( TRES IMPORTANT pour les ex. )

                a •  ( a  + b ) = a •  b

      5. Remarque: 

              a + ( a  • b  ) est interprété même

              sans parenthèse comme  a + b.

              Par contre pour  a •  ( a  + b )  il faut mettre les

              parenthèses pour éviter les confusions.

      6. MINTERM .

      ♥ Les Minterms  de deux variables a et b  sont les expressions suivantes :

        a • b   ;       a •  b     ;    a  • b   ;   a  •  b                   TRES IMPORTANT         

     On peut les faire apparaitre dans un tableau:

   a \ b 0 1
     0  a  •  b   a  • b  
     1  a •  b   a • b  

         Quand une expression A   ne comporte que deux variables a et b

         on peut toujours la présenter comme somme de  certains des minterms

           a • b   ;       a •  b     ;    a  • b   ;   a  •  b 

          Dans le tableau précédent on met des 1 à la place des minterms dont

          elle est la somme.

         Par exemple;   Soit   A = a •  b  +  a  •  b    va se traduire par le tableau

           ( de Karnaugh )  suivant .   

   a \ b           0         1
     0                1  
     1                1            

           Ici   on trouve A =  b   à l'aide visuelle du tableau de Karnaugh de A.

          ♥ Les Minterms  de trois variables a , b  , c  sont les expressions suivantes :  

           a  • b  • c    ;      a  • b • c    ;  a  • b • c  ;  a  • b • c    ;  a • b  • c    ;

 

              a • b • c   ;   a • b • c       ;     a • b • c    

 

           On les met en évidence dans le tableau ci-dessous.

a \  b c 0 0 0 1  1 1  1 0
0 a  • b  • c   a  • b • c a  • b • c a  • b • c
1 a • b  • c a • b • c a • b • c  a • b • c

           Quand une expression A    ne comporte que trois  variables a , b , c

          on peut toujours la présenter comme somme de   certains des minterms

         précédents.

          Dans le tableau précédent on met des 1 à la place des minterms dont

          elle est la somme.

         Par exemple;   Soit   A =  a  • b  • c  + a • b • c   +   a  • b • c

          va se traduire par le tableau

 

a \  b c 0 0 0 1  1 1  1 0
0     1                                 
1               1        1

         C'est le tableau de Karnaugh de A.

         Il permet de simplifier l'expression de A.

         Ici on peut dire : A  = a • b +  a  • b  • c