RESUME PRODUIT SCALAIRE

     RESUME DES RESULTATS SUR LE PRODUIT SCALAIRE                     1S               Mars 2009 

                  Pour les justifications voir une autre rubrique.

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       1 . DEFINITION.  ( PRODUIT SCALAIRE DE DEUX VECTEURS ).

              •CAS:    Soit    vect( u )  et   vect ( v ) deux vecteurs sont  NON NULS.

                   Le produit scalaire du vecteur  vect( u )  par  le  vect ( v )  est le réel

                   vect( u ) . vect ( v ) = ||  vect( u ) || × || vect ( v ) || × cos (  vect( u )  , vect ( v ) )

                       Pour la figure on a  :  

                       vect (AB) . vect( AC ) = AB  × AC  × cos( vect (AB) , vect( AC ) ) =  AB  × AC  × cos( BÂC ).

                   Figure:                   

                         • CAS:   Soit vect( u )  ou  vect ( v )   le VECTEUR NUL .

                 Alors le produit sacalaire du vecteur  vect( u )  par  le  vect ( v )  est le réel 

                 vect( u ) . vect ( v ) = 0

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              2 . PROPRIETE   .

                     •  Si vect( u )  et  vect ( v ) sont deux vecteurs colinéaires de même sens alors  :

                                     vect( u ) . vect ( v ) = ||  vect( u ) || × || vect ( v ) ||

                                     vect( AB) . vect( AC )  =  AB   ×AC         

                   •  Si vect( u )  et vect ( v ) sont deux vecteurs colinéaires et de sens contraires alors :

                          vect( u ) . vect ( v ) =  -  ||  vect( u ) || × || vect ( v ) ||

                        vect( AB) . vect( AC )  = - AB   ×  AC               

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              3 . DEFINITION  . (    ORTHOGONALITE DE DEUX VECTEURS. )

                               Deux vecteurs vect( u ) et vect( v ) sont orthogonaux si et seulement :

                              •  vect( u )  ou  vect( v ) est le vecteur nul .

                             •   vect( u )  et   vect( v ) ne sont pas nuls et   ( vect ( u ) , vect( v ) ) = π / 2   [  π ].

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               4. PROPRIETE .

                Deux vecteurs vect( u ) et vect( v ) sont orthogonaux si et seulement   vect( u ) . vect ( v ) = 0

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              5. PROPRIETE.  ( FORME ANALYTIQUE DU PRODUIT SCALAIRE )

                   Soit un repère orthonormal  direct ( O  ;  vect ( i ) , vect( j ) ).

                   Soit les vecteurs  vect ( u )   et vect( v )  de coordonnées ( x , y )  et ( x ' ,  y ' ) respectivement.

                   Alors:              vect( u ) . vect( v ) = x x ' + y y '  .               

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           6.  PROPRIETE.   (CARACTERE SYMETRIQUE ET BILILEAIRE )

                 Soit les vecteurs   vect( u )  ,  vect( v ) , vect( w ) et le réel k.

                  On a  :    vect( u ) . vect( v ) = vect( v ) . vect( u )   

                               (  k vect( u ))  . vect( v ) =  k (  vect( u ) . vect( v ) )

                               vect( u ) .(  vect( v ) + vect( w ) ) = vect( u ) . vect( v ) + vect( u ) . vect( w )

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            7. CARRE SCALAIRE D'UN VECTEUR.

                 Soit un vect( u ) .

                 On a :

                 vect( u ) . vect( u ) = || vect( u ) ||²     qui est  noté  ( vect( u ) )²

                 Si A et B sont deux points tels que vect( AB ) = vect( u ) 

                 alors    AB = √(  vect( AB ) . vect( AB ) )

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               8. PROPRIETE.                      .

                           Soit les vecteurs   vect( u )  ,  vect( v ) .

                    On a :     

      ( vect( u ) + vect( v ) )² =  ( vect( u ) )² + 2   vect( u ). vect( v ) + ( vect(v ) )² = 

      ( vect( u ) + vect( v ) )² =  ||vect( u ) ||² + 2   vect( u ). vect( v ) +  || vect(v ) ||²

    ( vect( u ) - vect( v ) )² =  ( vect( u ) )² - 2   vect( u ) . vect( v ) + ( vect(v ) )²

    (vect( u ) + vect( v ) ) .  ( vect( u ) - vect( v ) )     =      ||vect( u ) ||²  -   || vect(v ) ||²

     vect( u ) . vect( v ) = ( 1 / 2 ) (  || vect( u ) + vect( v ) ||² -   ||vect( u ) ||²  -  || vect(v ) ||²  )

   vect( u ) . vect( v ) = ( 1 / 2 ) (    ||vect( u ) ||²  +  || vect(v ) ||² -  || vect( u ) - vect( v ) ||²    )  

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     9. PROPRIETE . ( UTILISATION DU PROJETE ORTHOGONAL ) 

                Soit A , B , C    trois points du plan avec A ≠ B.

               Soit H le projeté orthogonal du point C sur la droite ( A B ).

               vect( AB ) . vect( AC ) = vect( AB ) . vect( A H )

               On dit que le vecteur vect( AH ) est le projeté orthogonal du vecteur vect( AC )  sur le vecteur  vect (AB ).

                                Figure 1                                                                                                Figure 2

              

                vect( AB ) . vect( AC ) = - AB  × AH                                               vect( AB ) . vect( AC ) = AB  × AH   

 

 

                Dans la figure ( 2 ) on remarquera que : vect( AB ) . vect( AC ) = AB  × AH   

                Dans la figure ( 1 ) on remarquera que : vect( AB ) . vect( AC ) = - AB  × AH 

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       10. PROPRIETE

 

 

               Soit deux vecteurs vect( u ) non nul et  vect( v).

              Soit  vect( v ' ) le vecteur projeté orthogonal de vect( v ) sur vect( u ) .

              On a :   vect( u ) . vect( v ) = vect( u ) . vect( v ' )

              Si de plus  vect( u ) est unitaire c-à-d de norme 1 alors on a

               vect( v ' ) = ( vect( u ) . vect( v ) ) vect( u )

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