INFO 2 DV n° 3 1S1 28nov 09

  INFO 2    DV n° 3     1S1        25 novembre 2009

        PROBLEME    n ° 106       Livre Didier      ( SUITE )

             Figure donnée dans l'énoncé.                       

                           

              3. b. En déduire que l'aire g( x ) du triangle BMC est g( x ) = 12 - 2 x .

                         On a : aire ( BMC ) = aire( ABCD ) - aire( MDC ) - aire (ABM)

                     •  Le triangle MDC est rectangle en D.

                           Aire ( MDC ) =( MD× DC ) / 2  = ( ( 4 - x ) × 2) / 2  =  4 - x

                      •  Le triangle ABM  est rectangle en A.

                              Aire ( ABM ) =( AB× AM ) / 2  =( 6 × x) / 2  = 3 x

                      Ainsi :   Aire ( BMC ) = 16 - ( 4 - x ) - 3 x = 12 - 2 x

                                  Conclusion:  g( x ) = 12 - 2 x      avec x dans [ 0 ; 4 ]

               4. Traçons les courbes des fonctions f et g sur l'intervalle [ 0 ; 4 ]

                  

               5. Déterminons les valeurs de x telles que :    

                  a.L'aire du rectangle AMNP soit maximale.

                      D'après le tableau de variation de f , on a l'aire du rectangle

                       AMNP qui est maximale quand x = 3  et  ce maximum est   9 .

                   Conclusion:   Pour x = 3  l'aire du rectangle AMNP est maximale. 

                   b. Le rectangle AMNP et le triangle BMC soient de même aire.

                          Par le calcul.

                          Soit  x dans [ 0 ; 4 ].

                       Imposons :     f( x ) = g( x )        

                       c-à-d                 - x² + 6 x = 12 - 2 x

                       c-à-d                 x² - 8 x + 12 = 0

                        Résolvons dans [ 0 ; 4] cette équation.

                        On  a :

                                     Δ' = b' ² - ac

                                     Δ' =  ( - 4 ) ² - 12 = 16 - 12 = 4

                                     Δ' > 0

                        Les deux racines distinctes sont:

                                ( - b' - √Δ' ) / a = ( 4 - 2 ) / 1 = 2      Accepté

                               ( - b' + √Δ' ) / a = ( 4 + 2 ) / 1 = 6     Refusé

                           Conclusion:   C'est pour x = 2  que l'aire du rectangle AMNP est

                                                   est égale à celle du triangle BMC. 

                 c. L'aire du rectangle AMNP soit supérieure à celle du triangle BMC.

                                  Par le calcul.

                          Soit  x dans [ 0 ; 4 ].

                       Considérons:     f( x )  > g( x )        

                       c-à-d                 - x² + 6 x  >  12 - 2 x

                       c-à-d                 x² - 8 x + 12  < 0

                      a = 1  

                     Donc a > 0  . Nous voulons que  x² - 8 x + 12   soit du signe de - a.

                     Nous devons prendre x entre les racines en les refusant

                     avec la condition x dans [ 0 ; 4 ].

                      c-à-d       2 < x < 6   et   0  ≤   x  ≤  4

                       c-à-d      x  est dans ] 2 ; 4 ]

                                           Conclusion:     x est dans ] 2 ; 4 ]       

                       6. Expliquons comment retrouver graphiquement ces résultats.   

                         •  Sur [ 0 ; 4] , la parabole qui représete la fonction f  a son sommet

                           d'abscisse x = 2.

                          •  Sur [ 0 ; 4] , la parabole qui représete la fonction f  coupe la

                              droite qui représente  la fonction g en un point dont l'abscisse est 2.

                                •  Sur [ 0 ; 4] , la parabole qui représente la fonction f   est au dessus de la

                           droite qui représente  la fonction g  sur ] 2 ; 4 ].

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