INFO DS n° 1    du 6 Octobre 2010         TS2

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        EXERCICE 1                 10 points 

                        Soit le polynôme :     P( z ) = z³ + z² + 3 z - 5      où z est un nombre complexe.

                  1. a. Résoudre l'équation   z² + 2 z + 5 = 0   dans l'ensemble des nombres complexes.

                      On a :                   Δ' = b ' ²  - ac 

                          Ainsi                 Δ' = 1² - 5 = - 4  = ( 2 i )²

                           Donc                    Δ' < 0

                           Les deux racines sont :

                                 ( - b ' - i √| Δ' | ) / a =  - 1 - 2 i

                              ( - b ' + i √| Δ' | ) / a =  - 1 + 2 i

                   Conclusion:    S = { - 1 + 2 i   ;    - 1 - 2 i  }

                      b. Montrer que P( z ) admet une racine réelle évidente z₀ .

                                          1 + 1 + 3 - 5 = 0

                                  La somme des cœfficients de P( z ) est nulle.

                               Ainsi

                           Conclusion :  1 est une racine évidente de P( z ).

                 2. Trouver par la méthode de votre choix trois réel a , b , c tels que :

                         P( z ) = ( z - 1 ) ( a z² + b z + c )     pour tout nombre complexe z.

                     Comme 1 est une racine de P(z ) on a P( z ) qui est factorisable par  z - 1.

                     Utisons la méthode de la division:              

                        Ainsi    z³ + z² + 3 z - 5  = ( z - 1 ) (  z² + 2 z+ 5  )   pour tout nombre complexe z

                     Conclusion :   a = 1       b = 2        c = 5

                 3. Résoudre P( z ) = 0   dans l'ensemble des nombres complexes.

                     On donnera pour chaque solution la forme algébrique et une forme trigonométrique.

                         P( z ) = 0   s'écrit        ( z - 1 ) ( z² + 2 z + 5  ) = 0

                          c-à-d               z - 1 = 0    ou      z² + 2 z + 5 = 0 

                         c-à-d            z = 1  ou  z = - 1 + 2 i   ou z = - 1 - 2 i

                      Conclusion :   S = { 1 ; - 1 + 2 i  ; - 1 - 2 i }

                          •Pour 1.    On a :      1 = 1 ( cos 0 + i sin 0 )

                        • Pour - 1 + 2 i.

                             On a :    | - 1 + 2 i | =  √(  ( -  1 )²  + 2² ) =  √5

                              On considère :                 cos θ =  - 1 / √5

                                                                      sin θ =   2 / √5

                              La calculatrice pour cos^-1  (  - 1 / √5  )  propose 2,03 radians.

                              Prenons   θ ≈ 2,03

                              Alors :   - 1 + 2 i ≈ √ 5    ( cos (  2,03 ) + i sin( 2 ,03 ) )

                       •  Pour - 1 - 2 i  qui est le conjugué il suffit de prendre l'opposé

                          de arg( - 1 + 2 i ) et le même module.

                          Ainsi :         - 1 - 2 i ≈ √ 5    ( cos ( - 2,03 ) + i sin( - 2 ,03 ) )                          

                   4. Soit les points  A ( 1 ) , B( - 1 + 2 i  )  et C(- 1 - 2 i  ).

                     a. Représenter ces points.

                     b. Quel est la nature du triangle ABC ?

                          Le triangle ABC est rectangle et isocèle en A.

                         Soit r le quart de tour direct de centre A.

                          Sa traduction complexe est :

                             z ' - z_A   = i ( z -  z_A )  avec M( z ) d'image M' ( z ' ) par r .

                            c-a-d

                           z '= i ( z -  z_A ) +  z_A    avec M( z ) d'image M' ( z ' ) par r .

                          c-à-d

                              z '= i ( z -  1 ) + 1   

                             avec M( z ) d'image M' ( z ' ) par r .

                         Or      i ( z_B -  1 ) + 1    =   i(  - 1 + 2 i - 1) + 1 = - 2 i - 2 + 1 = - 1 - 2 i

                       Donc      i ( z_B -  1 ) + 1    = z_C     

                               On a : r( B ) =C

                         Conclusion :    Le triangle ABC est rectangle et isocèle en A.

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            EXERCICE 2            10 POINTS     

                    Soient    A( 2 i ) , B( - √3 + i )  , C  ( -√3  - i ) .

                 On pose  Z = ( z_A - z_B ) / ( z_C - z_B )     .

                 Soit G le centre de gravité du triangle ABC.

                 1. Faire une figure que l’on complétera par la suite.

                     Donner la forme exponentielle de Z.    

                  • Figure :     

                  •  Donnons d'abord la forme algébrique.

                    On a:

                    Z = ( 2 i - (   - √3 + i )  ) / (   -√3  - i - (  - √3 + i ) )   

                      c-à-d  

                   Z = ( 2 i + √3 - i )  ) / (   -√3   - i + √3 - i ) )   

                        c-à-d

                    Z = ( √3 + i ) / (  - 2 i )  = (  ( √3 + i ) × i  ) / (  - 2 i × i ) 

                      c-à-d

                  Z =  ( i  √3  + i² ) /  ( - 2 i²  ) =   ( - 1 + i  √3  ) / 2

                      La forme algébrique de Z est donc celle de j.

                       Z = j

                     Or j est connu.       j = e^{i2 π/3}

                    Conclusion :    Z  = e^{i2 π/3}              

                  2. En déduire que ( vect( BC ) , vect( BA ) )  = 2 π  / 3     (  2  π ).

                        On sait que:   ( vect( BC ) , vect( BA ) )  = arg (  ( z_A - z_B ) / ( z_C - z_B )   )    ( 2  π )

                           c-à-d         vect( BC ) , vect( BA ) )  = arg (  Z  )    ( 2  π )

                        Or    arg( Z ) = 2 π / 3       ( 2  π )

                    D'où :

                          Conclusion :  ( vect( BC ) , vect( BA ) )   = 2 π  / 3     (  2  π ). 

                3. Trouver l’affixe du point D du plan tel que le quadrilatère ABCD soit

                        un parallélogramme.

                     Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme ssi  vect( CD )  = vect ( BA )

                     c-à-d    ssi     z_D - z_C  = z_A - z_B   

                    c-à-d     ssi    z_D   = z_A - z_B   +  z_C 

                     c-à-d     ssi      z_D   = 2 i  - ( - √3 + i ) + ( -√3  - i )

                      c-à-d     ssi      z_D   = 2 i  + √3  - i   -√3    - i  = 0

                       Conclusion :   z_D   =  0 

                  4. Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que :

                         || vect( MA ) + vect( MB )+ vect( MC ) || = 5

                        Soit  G  l'isobarycentre des points A , B , C .

                           On a d'après la propriété fondamentale:

                          Pour tout point M du plan

                          vect( MA ) + vect( MB )+ vect( MC ) = ( 1 + 1 + 1 )  vect (MG )

            c-à-d       vect( MA ) + vect( MB )+ vect( MC ) = 3 vect (MG )   

          Donc             ||   vect( MA ) + vect( MB )+ vect( MC )  ||   = 3  || vect (MG ) ||  

          c-à-d          ||   vect( MA ) + vect( MB )+ vect( MC )  ||   = 3  MG

         L'égalité     || vect( MA ) + vect( MB )+ vect( MC ) || = 5 

          peut donc s'écrire  :    3 MG = 5

          c-à-d      MG = 5 / 3

         Ainsi :

                L’ensemble des points M du plan tels que :   || vect( MA ) + vect( MB )+ vect( MC ) || = 5

               est   l’ensemble des points M du plan tels que    MG = 5 / 3

                  Conclusion :  L'ensemble cherché est le cercle de centre G et de rayon  5 / 3 .  

                 5. Soit R la rotation de centre B et d’angle   π  / 3 . 

                        a. Déterminer la traduction complexe de R.

                            C'est :   z ' - z_B   =  e^{i π/3}    ( z  - z_B  )

                          avec le point M( z ) d'image le point M' ( z ' )

                         c-à-d    

                          Conclusion :     z ' - (  - √3 + i )    = [  ( 1 + i √3  ) / 2  ]  ( z  - (  - √3 + i )   )

                                                avec le point M( z ) d'image le point M' ( z ' )

                        b. Trouver l’affixe de l’image E du point C par R.

                                  Utilisons la traduction complexe précédente:

                                    z_E  - (  - √3 + i  )    = [ ( 1 + i √3 )   / 2 ]   (  z_C - (  - √3 + i  )   )

                         D'où  

                                     z_E     =  [ ( 1 + i √3 )   / 2 ]   ( - √3 - i   - (  - √3 + i  )   )+ (  - √3 + i  ) 

                       c-à-d   

                                  z_E     =  [ ( 1 + i √3 )   / 2 ]   (    - √3 - i  + √3 - i  )  + (  - √3 + i  ) 

                          c-a-d    

                                    z_E     =  [ ( 1 + i √3 )   / 2 ]   (  - 2 i  )  + (  - √3 + i  )  

                        c-à-d

                                           z_E     =  ( 1 + i √3 )  (  -  i  )   - √3 + i   

                         c-à-d                                  

                                 z_E     =  - i   - i²  √3   - √3  + i    = - i + √3 - √3  + i = 0

                         c-à-d 

                                   z_E     = 0

                             Conclusion :    E = O       

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