INFO EX6 LISTE 1 1S LIMITES

INFO EX 6       LISTE  1 D'EX SUR LES LIMITES    S   5 Janvier 2009

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  EX.6      Soit la fonction f : x →  √( 1 + x² ) - x 

             1. Etablir que √( 1 + x² ) - x = 1 / ( √( 1 + x² ) + x )

                pour tout réel positif x.   

             2. Trouver   lim ( √( 1 + x² ) + x )   .

                                x → + ∞                  

             3. En déduire la limite de f en + ∞.

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   REP          La fonction f est définie dans IR .

                  1. Etablissons  que √( 1 + x² ) - x  = 1 / ( √( 1 + x² ) + x )  

                 pour tout réel positif x.   

               On a :  [√( 1 + x² ) - x ] × [ √( 1 + x² ) + x ] = ( √( 1 + x² )  )² - x²

             c-à-d      [√( 1 + x² ) - x ] × [ √( 1 + x² ) + x ] =  1 + x²  - x²   

             c-à-d      [√( 1 + x² ) - x ] × [ √( 1 + x² ) + x ] =  1

             En divisant par le réel non nul  √( 1 + x² ) + x  

             chaque membre on obtient

             l'égalité demandée : √( 1 + x² ) - x = 1 / ( √( 1 + x² ) + x ) .

                  Conclusion :   On a bien l'égalité pour tout réel x.

                                          f( x ) =  1 / ( √( 1 + x² ) + x )

                                         pour tout réel positif x.    

 

                    2 . Trouvons   lim ( √( 1 + x² ) + x )   . 

                                          x → + ∞                 

              On a :       √( 1 + x² ) + x  > x        pour tout x dans IR .

                          Or   lim x =  + ∞   

                               x → + ∞    

                            d'où     lim ( √( 1 + x² ) + x )  =  + ∞   

                                      x → + ∞   

                 Conclusion:    lim ( √( 1 + x² ) + x )  =  + ∞   

                                      x → + ∞   

 

                     3 . Trouvons   lim  f( x )   .

                                         x → + ∞  

                   Comme     lim ( √( 1 + x² ) + x )  =  + ∞   

                                      x → + ∞   

                 on a pour l'expression inverse:

                           lim 1 / ( √( 1 + x² ) + x )  =  0   

                         x → + ∞   

                  c-à-d    

         Conclusion : lim f( x ) = 0

                             x → + ∞