INFO EX 5 SYSTEME LINEAIRE

EXEMPLE TRAITE DE RESOLUTION D'UN SYSTEME LINEAIRE   MArs 09

 EX5

  Résoudre dans IR  le système linéaire suivant d'inconnues x , y , z .

    x   -  y    + z   =  6            

    3 x + 2  y -  z  =   4                             

    x +  2 y + 2 z   =   1           

 

 / 1   -1   1 |    6  \        
|  3    2 - 1 |    4    |       
 \ 1   2 2 |    1   /        

 La réponse devra être S = { ( 3 ; - 2 ; 1 ) }.

      est le premier pivot.

On fait:       L2  ← L2  -  3 L1  et  L3 ← L3  - 1  L1 

  On obtient le système équivalent suivant:

 / 1   -1   1 |    6        \        
|  0    5 - 4 |    - 14     |       
 \ 0   3   1 |    - 5     /        

    5   est  le second pivot.

 On fait:    L3 ← L3  -  3 / 5  L2 

 On obtient le système équivalent suivant: 

 / 1   -1   1 |    6          \        
|  0    5 - 4 |    - 14        |       
 \ 0   0   17 / 5 |   17 /5     /        

   sachant    1 - ( 3 / 5 ) ( -  4 ) = 17 / 5

                    - 5 - ( 3 / 5) ( - 14 ) = - 5 +  42/  5 =  ( - 25 + 42 ) /

     Alors  L3  donne    ( 17 / 5 ) z = 17 / 5

                               c-à-d   z = 1              

     Puis   L2  donne  5 y - 4 z = - 14

                           c-à-d     5 y = - 14 + 4 z

                             c-à-d    y = (  - 14 + 4 )/ 5 = - 10 /5 = - 2

                                 c-à-d     y = - 2

         Enfin L1

          donne     x = 6  + y - z

              c-à-d             x = 6 - 2 -1 = 3

                 c-à-d              x = 3

           Conclusion:        S = { ( 3 ;- 2 ; 1 ) }

 

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