Sujet EXERCICE 3 BAC 2018

                                  Baccalauréat S         Métropole–La Réunion           22 juin 2018 

   EXERCICE  3     ( 5 points )
                       Commun à tous les candidats
       Le but de cet exercice est d’examiner, dans différents cas, si les hauteurs d’un

       tétraèdre sont concourantes, c’est-à-dire, d’étudier l’existence d’un point

       d’intersection de ses quatre hauteurs.
       On rappelle que dans un tétraèdre MNPQ, la hauteur issue de M est la droite passant

       par M orthogonale au plan (NPQ).


          PARTIE A            Étude de cas particuliers
          On considère un cube ABCDEFGH.
                                                 Cube bac 18                          

              On admet que les droites (AG), (BH), (CE) et (DF), appelées « grandes diagonales »
              du cube, sont concourantes.
     1. On considère le tétraèdre ABCE.
         a. Préciser la hauteur issue de E et la hauteur issue de C dans ce tétraèdre.
         b. Les quatre hauteurs du tétraèdre ABCE sont-elles concourantes ?
     2. On considère le tétraèdre ACHF et on travaille dans le repère
        Reperebac18
           a. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (ACH) est : x − y + z = 0.
           b. En déduire que (FD) est la hauteur issue de F du tétraèdre ACHF.
           c. Par analogie avec le résultat précédent, préciser les hauteurs du tétraèdre ACHF issues
                respectivement des sommets A, C et H.
               Les quatre hauteurs du tétraèdre ACHF sont-elles concourantes ?
         Dans la suite de cet exercice, un tétraèdre dont les quatre hauteurs sont concourantes sera appelé un
        tétraèdre orthocentrique.


          PARTIE  B     Une propriété des tétraèdres orthocentriques


            Dans cette partie, on considère un tétraèdre MNPQ dont les hauteurs issues des sommets M et N sont
            sécantes en un point K. Les droites (MK) et (NK) sont donc orthogonales aux plans (NPQ) et (MPQ)
            respectivement.
                                               Pyrbac18

                1. a. Justifier que la droite (PQ) est orthogonale à la droite (MK); on admet de même que les
                         droites (PQ) et (NK) sont orthogonales.
                    b. Que peut-on déduire de la question précédente relativement à la droite (PQ) et au plan
                         (MNK) ? Justifier la réponse.
                2. Montrer que les arêtes [MN] et [PQ] sont orthogonales.
                    Ainsi, on obtient la propriété suivante :
                    Si un tétraèdre est orthocentrique, alors ses arêtes opposées sont orthogonales deux à deux.
                    (On dit que deux arêtes d’un tétraèdre sont « opposées » lorsqu’elles n’ont pas de sommet commun.)


         PARTIE  C                  Application
                Dans un repère orthonormé, on considère les points :
                              R (− 3 ; 5 ; 2),  S(1 ; 4 ; − 2),   T( 4 ; − 1 ; 5) et U( 4 ; 7 ; 3).
                 Le tétraèdre RSTU est-il orthocentrique ? Justifier.

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