Exemple 6 de sujet d'oral S

                                  PREPARATION  DE L'ORAL                     Série S               

               EXEMPLE DE SUJET:

               Thème :

       Limites, asymptote oblique, primitive, sens de variation , lecture graphique, v.a.r. de loi binomiale. 

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            Vous disposez de 20 mn pour étudier les deux exercices ci-dessous.

            On  vous demande de préparer les réponses afin de pouvoir, au cours de l'entretien oral 

            de 20 mn, qui suivra, justifier votre démarche, vos conclusions.

            D'autres questions pourront vous être posées pour révéler vos connaissances

             sur le programme  de la classe de terminale S.   

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     EXERCICE 1

             Le plan est muni d'un repère orthonormé 

              repere-ds-n-8-1s-12-mai-2010-jaune.gif.

             ( Unité graphique : 1 cm )

            1.  On considère la fonction

                                   fctrationn-1.png

                phrase-1.png 

                Soit ( C ) sa courbe représentative.

                                               courbef.png

                On dispose des informations suivantes:

                              •  Elle est définie sur   ] - ∞ , 1 [  U  ] 1 , + ∞ [.

                              • coeffa.png

                              • valen0-2.png

                             •limif.png

                  Pouvez- vous déterminer l'expression de la fonction fctf.png ?

               (   Quelle asymptote oblique  la courbe ( C ) admet-elle? )

              2. Montrer que la fonction dérivée de fctf.png est :

                              fctder.png

                  Donner le tableau de variation de la fonction fctf.png.

              3. Sur l'intervalle   ] 1 , + ∞ [ donner une primitive de la fonction  fctf.png.

                   Que représente l'intégrale A suivante ?

                                        airea.png

                   Pouvez-vous donner sa valeur exacte ?

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             EXERCICE 2

                  On considère qu'à un concours un candidat a  20 % de chance de réussir.

                  On a pris, au hasard, parmi un grand nombre de candidats, un groupe

                  de 25 candidats.

                  X désigne le nombre de candidats admis parmi ces 25 candidats.

            1. Quelle est la loi de probabilité de X ?

            2. Quelle est la probabilité qu'au moins un candidat réussisse?

            3.  Quelle est la probabilité qu'au plus deux candidats réussissent ?   

            4. Quel est le nombre moyen de candidats qui réussisent  parmi les 25

               candidats qui passent le concours ?

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          REPONSES pour l'EXERCICE1

             1. L'expression de la fonction fctf.png est :

                                         exprfct.png

                    En effet :

                   cond.png

           Donc

                                 vald.png

           • On a :

                     cond1-1.png

                          Or

                     coeffa.png

                    Donc 

                      vala.png

               •    De plus

                      valen0-2.png

                    donne :

                   deduc.png

              •   Enfin 

                      expresfct-1.png

                   Donc    facilement on obtient:

                      limdiff.png

                 Comme 

                            limif.png

                  on peut   en déduire que :

                             valb.png

              Mais

                          deduc.png

               Ainsi:

                                        valc.png

                 Conclusion: On a bien l'expression annoncée.

             On peut aisément en déduire:

            limen.png

                Donc:

                La droite  

                equaasymp.png

              est une asymptote de ( C ) en + ∞.

          2. Pour la fonction dérivée defctf.png :

                  fctrat1.png

                 Sur les intervalles ] - ∞ , 1 [ et  ] 1 , + ∞ [   u et v sont définies

                 et dérivables et  v non nulle.

                 Donc la foncion  fctf.png est définie et dérivable sur  

                 les intervalles ] - ∞ , 1 [ et  ] 1 , + ∞ [.

                   On a  :

                  fprim.png

              calfprimdex.png

               On a bien le résultat.

             On a le tableau de variation de fctf.png  suivant:

                     tabfct.png

        3.  Sur l'intervalle ] 1 , + ∞ [  une primitive de la fonction

                          fctfo.png

                   est 

                     primf.png    , 

                     la fonction   v: x→ x - 1  étant définie dérivable et strictement positive sur 

                     l'intervalle  ] 1 , + ∞ [   et   v ' : x → 1 .

             • L'intégrale A est l'aire du domaine compris entre ( C ) et D

                sur l'intervalle [ 2 ; 4 ] en unités d'aire.

               Sur l'intervalle [ 2 ; 4 ],  une primitive de la fonction 

                        primi.png

                         Ainsi:

                         calint.png

                 Conclusion:    A = 4 ln 3

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                     REPONSE pour l'EXERCICE 2

         1. On répète 25 fois de façon indépendante une épreuve de Bernoulli

              dont les issues sont  " Admis" , "Non Admis" avec 20% la probabilité

              de " Admis".  On considère X la variable aléatoire réelle qui associe 

            le nombre de "Admis".

             Donc:

              Conclusion: X suit la loi binomiale B( 25 ; 20% ).

           2. Calcul de P( X ≥ 1 ).

                   On a :

                  P( X ≥ 1 ) = 1 -  P( X = 0 )

                 Mais     P( X = 0 )  =   nbcomb.png  ×  0,20  ×  0,825  =   0,825

                  Donc

                     P( X ≥ 1 ) =   1 -  0,825

             Conclusion :    P( X ≥ 1 ) ≈ 0, 9962

            3. Calcul de P( X ≤ 2 ).

                    P( X ≤ 2 ) =  P( X = 0 ) + P( X = 1 ) + P( X = 2 )

                  c-à-d

                   P( X ≤ 2 ) = 0,825   +   nbcomb1.png    0,21 × 0,824    +   nbcomb2.png    × 0,22 × 0,823  

                Conclusion:      P( X ≤ 2 )  ≈ 0,0982

                   Directement avec la  TI 84:

                        2ND   VARS

                        Descendre jusqu'à la ligne

                           binomcdf(

                         ENTER

                   Mettre      25 , 0.2 , 2

                        ENTER

                  On obtient:    0,0982

    4. Donnons l'espérance de X.

               D'après le cours  E( X ) = n × p 

                Ici :                    n = 25     et      p = 20% = 0,2 = 1 / 5

               donc  n × p =  5

                  Conclusion :   E( X ) = 5

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