CORRECTION TEST 1

NOM : .........            Prénom : ...............         n° 1      Date:    ... / 10  /08      Classe:   ....

  • Qu'est-ce qu'une proposition? Enoncé mathématique qui est sans hésitation soit vrai soit faux .

 

  • Soit x dans IR.     ( 2 x2 - 5 x + 4 > 0 ) ET ( ex + 1  < 0 ) est -elle une proposition vraie?  NON.

           ex + 1  < 0  est fausse.

  • Soit x un élément de IR.  Exprimer la négation de:

    • •  3 x + 1 ≤ 4   .    C'est       3 x + 1 > 4         

   • •  Il existe  un entier a tel que  2 a + 1 soit pair.       Pour tout réel a ,  2 a + 1 est impair .  

   • •  Une fonction f , définie sur l'intervalle I, y est toujours croissante ou toujours décroissante.

          Une fonction f , définie sur l'intervalle I, n'y est pas oujours croissante ou toujours décroissante.

   •  Soit deux réels a et b. Donner la contraposée de :   a  ≤  b   => a2  ≤  b2 .

              a2  >  b2  =>  a > b

          • Résoudre dans IR:       ( 2 x - 3 ) ( 3 -  5 x ) = 0.       c-à-d    - 10( x - 3 / 2 ) ( x - 3 / 5 ) = 0.

                  SIR =   {   3 / 2   ;  3 / 5 }

         • Résoudre dans IR:   ( 2 x - 3 ) ( 3 -  5  x ) < 0.     c-à-d    - 10( x - 3 / 2 ) ( x - 3 / 5 ) < 0.

                    c-à-d           x <  3 / 5       ou         x >  3 / 2        ( On peut aussi faire un tableau )  

                    ( Règle des signes.)    

         •  A l'aide d'un tableau de vérité comparer les propositions:   ( NON p ) OU q  ,  NON ( p OU q ).     

p q NON p (NON p ) OU q p OU q   NON ( p OU q )
0 0 1 1 0 1
0 1 1 1 1 0
1 0 0 0 1 0
1 1 0 1 1 0

          Conclure:   Elles ne sont pas équivalentes.

      • A-t-on pour  tout entier n l'inégalité  n2 - n + 1 ≥ 0 ?      OUI

                   Δ = b2  - 4 a c = - 3        Δ < 0      Donc  n2 - n + 1  est toujours du signe de a . 

                   Or   a = 1 .    Donc   n2 - n + 1  est toujours du signe positif .

       • Exprimer la négation de :

         • • Pour tout réel y  il existe au moins un réel x tel que 2 x + 3 = y .

             Il existe au moins un réel y  tel que pour tout réel x,    2 x + 3 ≠  y .

        • • Si x est le carré d'un nombre alors x est positif ou nul.

                  p => q     équivaut à     ( NON p ) OU  q .

                 Ainsi la négation de  p => q  est :    ( p  ET ( NON q ) ) .

                On obtient pour le résultat cherché:

                   x est le carré d'un nombre ET  x  n' est pas positif ou nul.

      • • Pour tout réel x il existe un entier relatif n tel  que  n ≤ x < n + 1.

                    Comme  n ≤ x < n + 1    s'écrit    ( n ≤ x   ET  x  < n +  1 ) la négation cherchée est:

               Il existe au moins un réels x tel que pour tout entier relatif n on ait  x < n  OU  x  ≥ n + 1