INFO EX 3 FEUILLE 3 d'exercices sur les suite TS sept 2012

              INFO  EX 3   FEUILLE d'exercices sur les suites    TS   sept 2012     

      EXERCICE 3

               Soit la suite ( un ) définie sur IN* ,de terme général :

          u= 1  + ( 1 / 2 ) +   ( 1 / 3 )2 +  ...+ ( 1 / n )2      pour tout n dans IN*

          1. Donner le sens de variation de cette suite .

          2. Etablir que :  

                 ( 1/ k )2 ≤  1 / ( k - 1 ) -  1 / k   pour  tout entier  k ≥ 2.

          3. En déduire que :  

                           un  ≤  2 - ( 1/n ) pour tout entier n ≥ 2.

          4. La suite  ( un )  est-elle majorée ?

              Converge-t-elle ?

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       Réponse : 

      1. Donnons le sens de variation de la suite ( un ).

                   Soit n dans IN*  quelconque.

                            u= 1  + ( 1 / 2 ) +   ( 1 / 3 )2 +  ...+ ( 1 / n )2  

                         un + 1 = 1  + ( 1 / 2 ) +   ( 1 / 3 )2 +  ...+ ( 1 / n )2  + ( 1 / (n + 1) )2    

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    Par soustraction:     un + 1 - un = ( 1 / (n + 1) )2             

               Or                ( 1 / (n + 1) )2    > 0

                Donc            un + 1 - un > 0   pour tout n dans IN*

        Conclusion : La suite ( u ) est croissante sur IN*

         2. Etablissons que :  

                 ( 1/ k )2   ≤   1 / ( k - 1 )  -   1 / k   pour  tout entier  k ≥ 2.

               Soit k un entier quelconque tel que  k ≥ 2.

                On a :         1 / ( k - 1 )  -   1 / k   = ( k - ( k - 1 ) ) / ( ( k - 1 ) k )

               c-à-d     1 / ( k - 1 )  -   1 / k   =  1 /  ( k2 - k )

                De plus    ( 1/ k )2    = 1 / k2  

            Comparons les dénominateurs  k2  et  k 2- k   sachant  k  ≥ 2.

              Ils sont tous les deux strictement positifs.

               On  a :    0 < k2 - k  ≤   k2  

               Donc pour les inverses on a :

                         1 / k2  ≤ 1 / ( k2 - k )

           Ainsi on a bien :   ( 1/ k )2   ≤ 1 / ( k - 1 )  -  1 / k    

                                        pour  tout entier tel que k  ≥ 2

              Conclusion:   le résultat est avéré

       3. Déduisons que :   

                           un  ≤ 2 - ( 1 / n ) pour tout entier n ≥ 2.

          Soit n un entier quelconque tel que n ≥ 2.

          On a en utilisant l'inégalité établie dans la question précédente:    

                   1        1

               ( 1 / 2 )  1 / 1    - 1 / 2   

              ( 1 / 3 )2   ≤   1/ 2   - 1 / 3

              ( 1 / 4 )2  ≤   1 / 3 -  1 /  4

                  ...       ≤      1 / 4   -      .....

                 .................................

               ...           ≤   .........  -   1 / ( n - 1 )   

              ( 1 / n )2    ≤  1 /(  n - 1 )  - 1 / n

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  Sommons :        un   ≤    2   -  1 / n    pour tout entier n ≥ 2 

         Conclusion : Le résultat est avéré 

      4.   •Regardons si la suite est majorée

        On a :      1 / n > 0         pour tout entier   ≥ 2 

        Donc on a :       2 -  1 / n    2         pour tout entier n ≥ 2 

        On a :         un      ≤    2   -  1 / n      pour tout entier n ≥ 2 

         Donc        un    ≤   2         pour tout entier n ≥ 2 

          Conclusion : OUI . La suite est majorée par 2 à partir du rang 2.    

        • Regardons si la suite converge.

         Comme la suite est croissante et majorée sur les entiers à partir du rang 2

          elle converge.

                           Conclusion : La suite est convergente

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