DS N° 5 1S 1 24 janvier 09

    DS51S1240109      Devoir surveillé    n° 5      1S1                                  

  EXERCICE. 1            Soit la fonction f : x → (  x - 1 )² / (  x + 1 )  définie sur

                                       l'intervalle  ] -1 , + ∞ [ .

           Soit ( C ) la courbe de la fonction f  , dans un repère

           orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) ) du plan, sur l'intervalle ] -1 , + ∞ [ .

                           ( Unité graphique : 1 cm )

                    1. Trouver la limite de f en - 1.  

                    2. En déduire l'existence d'une asymptote verticale  Δ pour la courbe de f.

                    3. Trouver la limite de f  en + ∞ .

                    4. Déterminer deux  réels a , b  tels que :

                        f( x ) = a x + b +  4 / (  x + 1 )   pour tout x dans   ] - 1 , + ∞ [ .

                    5. Etablir que la courbe ( C ) admet comme asymptote oblique

                       la droite D: y = x - 3  en + ∞.

                    6. Donner le signe de 4 / (  x + 1 )  quand  x est dans  l'intervalle ] - 1  , + ∞ [ .

                        En déduire les positions relatives de D et ( C ) .

                    7. a. Montrer que la fonction dérivée f ' de f est :

                              f ' : x → ( ( x +3 ) ( x - 1 ) ) / ( x + 1 )².

                        b. Trouver le signe de  f ' ( x ) pour tout x dans   ] - 1 , + ∞ [ .

                            Donner le tableau de variations de f.

                     8. Soit Ω  le point d'intersection des droites D et Δ .

                         Trouver les coordonnées de Ω .

                     9. On pose :   x = X -  1 

                                              y = Y  -  4

                       ( Formules de changement de repère par changement d'origine.

                          Ω  est la nouvelle origine. )

                         Montrer que l'équation  y = f( x ) pour tout x dans  ] - 1 , + ∞ [

                             devient  Y =  X +  4 / X   pour tout X dans  ] 0 , + ∞ [ .

                  10. Quel  est  le points A  de  la courbe ( C ) où la tangente est horizontale?

                  11. Sur l'intervalle  ] -1 , + ∞ [  tracer dans le même repère orthonormal 

                         ( O ; vect( i ) , vect( j) )  la courbe ( C ) , les droites D , Δ  , et le point A .

                         On précisera dans un tableau de valeurs les ordonnées des points

                         dont les abscisses sont : - 1 / 2  ; 0  ; 1   ; 2  ; 3.

                  12. Donner une équation de la tangente à la courbe de f au point

                         d'abscisse 0.

                  13.  Discuter graphiquement le nombre de solutions de l'équation f( x ) = α

                         dans  l'intervalle  ] - 1 , + ∞ [  où  α  est un nombre réel.

                       ( On pourra pour cela dénombrer les points d'intersection éventuels

                        de ( C ) avec la droite Lα : y = α  suivant  la valeur de α.)


     EXERCICE . 2             

        1. Soit les points A ( 4 π / 3 ) et B ( 11 π / 4 ) sur le cercle trigonométrique.

            Donner les mesures ( en radians ) de l'arc orienté d'origine A et d'extrémité B.

        2 . a. Soit k dans l'ensemble des entiers relatifs.

                  Montrer que les affirmations suivantes sont équivalentes:

              • 113 π / 6  + 2 k π  est dans l'intervalle ] - π , π] .

              •    k est dans l'intervalle  l'intervalle 

                    ] - 119 / 12 , - 107 / 12 ].                                                     

             b. Calculer  113 π / 6  + 2 k π  quand l'entier relatif k est dans l'intervalle

                  ] - 119 / 12 , - 107 / 12 ].

             c.  Donner la mesure principale de l'angle orienté dont une mesure

                  est 113 π / 6  .


              EXERCICE. 3

                           Soit O et A deux points du plan tels que OA = 1.

                           Soit M un point variable sur la droite perpendiculaire en O

                           à la droite ( OA ) .

                           On pose OM = x .

                           On note f la fonction qui à x fait correspondre la distance AM.

                                1. Quel est l'ensemble de définition de f ?

                                2. Donner l'expression de la fonction f.

                                3. Donner le sens de variation de la fonction f.

                                   ( On pourra décomposer la fonction f en fonctions

                                    simples de référence.)

                                4. Prouver que pour tout réel positif x on a :

                                             √ ( x² + 1 )  - x   =    1 / ( √ ( x² + 1 )  + x )

                                5. Etablir que pour tout réel positif strictement  x on a:

                                       0  =<   1 / ( √ ( x² + 1 )  + x )  =< 1 / x

                                6. En déduire que pour tout réel positif strictement x  on a :

                                                   0  =<   f( x ) -  x   =<   1 / x

                                7. Trouver la limite de f( x ) - x quand  x tend vers + ∞.

                                    Que peut-on en déduire pour la courbe de la fonction f

                                    dans un repère orthonormal du plan?

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