THÈME : Résolution de Z ² + 2 Z – i = 0 dans C

                                MATHS. EXPERT             Février 2022 

              THÈME FACULTATIF  : Z ² + 2 Z – i = 0

           •   Remarque : ( non exigible )

               Soit une équatin de la forme:      a Z 2  + 2 b' Z + c = 0            avec a , b' ,c dans C.

              Le discriminant simplifié est :    ∆' = b' − ac         

               ∆ = 4 ∆' 

             Soient  δ' et − δ ' les deux racines deuxièmes de  ∆'   dans C.

             Alors les solutions de   a Z 2  + 2 b' Z + c = 0  sont :

                            (  − b' +   δ'  ) / a     et      (  − b'    δ'  ) / a   

          •  Exemple :

                            Soit   Z  + 2 Z  i = 0            a = 1             b ' = 1   c =  i

                            On a  le discriminant simplifié :     ∆' =  1 + i

                            Les racines deuxièmes de    ∆'   sont:

                            δ'  = √( ( √2 + 1 ) / 2   )  + i  √( ( √2 −  1 ) / 2   )     et          δ'   .     

              Cliquer sur le rectangle vert pour voir les calculs :    RACINE 2 ième de 1 + i DANS C FEV 2022             

                 Conclusion :  les solutions de  Z + 2 Z  i = 0 sont les nombres complexes

                             − 1 +  √( ( √2 + 1 ) / 2   )  + i  √( ( √2 −  1 ) / 2   ) 

                        et  − 1     √( ( √2 + 1 ) / 2   )     i  √( ( √2 −  1 ) / 2   ) 

          Dans C, les équations du second degré de la forme,     a Z 2  + 2 b' Z + c = 0        avec   a , b ,c dans C

          ont toujours deux solutions distinctes ou confondues.

            L'essentiel du travail consiste à trouver les deux racines deuxièmes ( opposées ) du discriminant.

            Après il ne s'agit plus que de les reporter dans deux formules.

          • Cas général de la résolution d'une équationde la forme,   a Z 2  +  b Z + c = 0            avec a ,b ,c dans C.

             Discriminant:     ∆   = b − 4 ac   

            Soient  δ  et − δ  les deux racines deuxièmes ( toujours opposées ) de  ∆   dans C.

            Les deux solutions, dans C,  de    a Z 2  +  b Z + c = 0   sont :

                     (  − b  +  δ  ) / ( 2 a )    et      (  − b     δ  ) /   (2 a )   

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