DS 1. 4/10/10 TS

DS 1. 4/10/10 TS

             

                        DS n° 1                      Lundi 4 octobre 2010               TS2                        

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           EXERCICE 1                 10 points 

                        Soit le polynôme :     P( z ) = z+ z2 + 3 z - 5      où z est un nombre complexe.

                  1. a. Résoudre l'équation   z2 + 2 z + 5 = 0   dans l'ensemble des nombres complexes.

                      b. Montrer que P( z ) admet une racine réelle évidente z0 .

                 2. Trouver par la méthode de votre choix trois réel a , b , c tels que :

                         P( z ) = ( z - 1 ) ( a z2 + b z + c )     pour tout nombre complexe z.

                 3. Résoudre P( z ) = 0   dans l'ensemble des nombres complexes.

                     On donnera pour chaque solution la forme algébrique et une forme trigonométrique.

                 4. Soit les points  A ( 1 ) , B( -1 + 2 i  )  et C(- 1 - 2 i  ).

                     a. Représenter ces points.

                     b. Quel est la nature du triangle ABC ?

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            EXERCICE 2            10 POINTS     

                    Soient    A( 2 i ) , B( - √3 + i )  , C  ( -√3  - i ) .

                 On pose  Z = ( zA - zB ) / ( zC - zB )     .

                 Soit G le centre de gravité du triangle ABC.

                 1. Faire une figure que l’on complétera par la suite.

                     Donner la forme exponentielle de Z.            

                  2. En déduire que ( vect( BC ) , vect( BA ) )  = 2 π  / 3     (  2  π ).

                3. Trouver l’affixe du point D du plan tel que le quadrilatère ABCD soit

                        un parallélogramme.

                  4. Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que :

                         || vect( MA ) + vect( MB )+ vect( MC ) || = 5

                 5. Soit R la rotation de centre B et d’angle   π  / 3 . 

                        a. Déterminer la traduction complexe de R.

                        b. Trouver l’affixe de l’image E du point C par R.

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