INTERVALLE DE CONFIANCE

            INTERVALLE DE CONFIANCE              TS

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   1.INFORMATION :

             Le fait d'extraire d'une population n individus avec n ≥ 30 

              peut s'apparenter à un tirage avec remise de n individus dans la population.

              C'est ce qui arrive quand on réalise un sondage.

               Le problème après c'est de savoir si le résultat f du sondage donne

               une idée fiable au niveau de la population.

               C'est le but de l'intervalle de confiance.

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    2. INTERVALLE DE CONFIANCE   IC.

         On considère une population et on s'intéresse à une particularité ( caractère  binaire) 

         de certains individus de la population.

         On souhaite pouvoir encadrer la proportion p des individus de la population

         ayant cette particularité. Mais on ne connait pas p.

         Autrement dit on veut donner un intervalle de confiance IC 

         qui contienne  la proportion p avec une probabilité d'au moins 

         95% . ( On dit au niveau de confiance asymptotique 95% ou au seuil de risque 5 % )

        Pour cela on considère un échantillon de n individus. ( n ≥ 30 ).

        Soit f   la proportion d'individus, dans l'échantillon, ayant la particularité.

        On considère comme intervalle de confiance :

                                   IC =  [  f - 1 / √n   ,   f + 1 / √n ]

          En pratique on accepte cet intervalle que si les trois conditions 

                                     n ≥ 30

                                    n ×  f  ≥  5

                                    n × ( 1  -   f ) ≥  5

               sont réalisées.

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     3.  EXEMPLE DE SITUATION .

                    On s'intéresse à la proportion de motard dans une population.

                    On ne connait pas statistiquement la proportion p de motard dans 

                    la population. On désire l'encadrer avec une certaine fiabilité.

                     On réalise un sondage par téléphone auprès de 100 individus de la population.

                       n = 100

                    On a dénombré 22 individus qui sont motards dans cet échantillon.

                    Donner un  IC  asymptotique au niveau de confiance 95 %.

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             REPONSE:

                     On  a la fréquence de "motard "  pour l'échantillon  qui est :

                       f = 22 / 100   = 0,22

                        •   n = 100

                           100 ≥ 30      

                             Donc  n    ≥   30                                             

                         •  n ×  f  = 100 ×  f  =   100 ×  0,22 = 22

                                Donc 

                                         100 ×  f    ≥  5

                        •  n × ( 1 − f  ) = 100 × ( 1 − f ) =   100 ×  0,88 = 88

                             Donc     n × ( 1 -  f  )  ≥  5

          Considérons comme IC :  

                            I100   =  [   0,22 - 1 / √100  ,    0,22 + 1 / √100  ]

             c-à-d

                              I100   =  [   0,22 - 0,1  ,    0,22 +  0,1  ]  

                 Conclusion :

                                          I100   =  [   0,12  ,    0,32  ]     

                   On peut considérer que la proportion p de motard dans la population( totale )

                   se situe entre 12 %  et  32 %  au seuil de confiance asymptotique de 95 %.

                   On peut constater que l'amplitude de cet intervalle de confiance  est  2 / √n  = 20 %.

                  ce qui est considérable.

                   On obtient donc quand on prend le centre de cet intervalle pour la proportion p ,

                   un pourcentage ici  22 % à  ± 10 % près.

                  On peut dire que dans la population à 10% près, la proportion de motard est 22 %.        

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        Question :  Combien de personnes faut-il interroger pour que le résultat du sondage soit 

                             à 1 % près  quand on considère le milieu de l'intervalle de confiance?

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              REPONSE:

                                       1 / √n   = 1 %

                                         donne  

                                           √ n = 100

                           c-à-d          n = 10  000

       Cela montre que pour une simple pécision de ± 1% il faut interroger 10 000 personnes.   

       Les instituts interrogent environ n = 700 personnes.

           1 / √ 700  ≈ 0,0378   soit  3, 78 %

       Le centre de l'intervalle de fluctuation est valable à ± 3,78 % près et en plus

       au seuil de rique de 5%.    Autrement dit c'est sans intérêt.

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   4. Autre aspect de l'intervalle de confiance.

    On veut savoir quelle est la fréquence prévisible d'un caractère binaire ( à deux issues )

    dans une population,  connaissant la fréquence f du caractère dans un échantillon

    de n individus de la population (  n ≥ 30 ) .

    Par exemple :

      A et B se présentent à une élection. Avant d'avoir le résultat final, on fait un sondage

     avec n bulletins ( n ≥ 30 ) au début du dépouillement pour connaitre le pourcentage f  

     dans cet échantillon.

      On veut pouvoir prédire le pourcentage p final obtenu par A au seuil de 95 %.

      Le pourcentage p  de A final sera dans un intervalle de confiance

      au seuil de 95 %  si   nf  ≥  5  et  n( 1 − f ) ≥  5.

         p est dans  l'intervalle de confiance :

              IC =  [  f  − 1 / √n   ,   f + 1 / √n ]

         Ainsi pour n = 400  l'amplitude de IC  est de 10% .

        Ce qui est énorme comme amplitude

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