ACTIV. SYSTEME LINEAIRE BTS

EXERCICES A REDIGER            BTS 1           SYSTEMES     LINEAIRES     Mars 2009

       Les trois exercices illustrent les trois situations qui peuvent survenir.

  EX1      Résoudre dans IR3  le système suivant:

                x + y + z = 1                   L1 

                2 x + y - 2 z = - 4             L2 

               - 2 x + 2 y + z = - 4          L3 

   Réponse : S = { ( 1 ; - 2  ; 2 ) }

   Aide: Le  système s'écrit une fois triangularisé :

                   x + y + z = 1                    L1  

                       y + 4 z = 6                   L2 

                       - 13 z = - 26                 L3 

         Il y a un unique triplet solution.

------------------------------------------------------------------------------------------------------

    EX 2      Résoudre dans IR3  le système suivant:

              2 x - y + 3 z = 2                 L1  

              x + 2 y + z = 1                   L2 

              3 x - 4 y + 5 z = 3                L3 

 Réponse   :  S = {  ( - 7 y + 1 ;  y  ; 5 y ) / y dans IR }         

     Aide: Commencer par     L1  ↔  L2 

  Le  système s'écrit une fois transformé  :

                 x + 2 y + z = 1                    L1  

                       - 5 y +  z = 0               L2 

                                 0 z = 0              L3 

      On est obligé de prendre une inconnue comme paramètre.

       Ici c'est z que l'on prend comme paramètre.

         Il y a une infinité de triplets solutions.

--------------------------------------------------------------------------------------------------

     EX.3     

                  Résoudre dans IR3  le système suivant:

               x - y + 2 z = 3                        L1  

               2 x + 3 y - z = 1                      L2 

               x + 4 y - 3 z = 2                       L3 

        Réponse   :  S  est l'ensemble vide . 

                 Le  système s'écrit une fois transformé  :

                     x - y + 2 z = 3                     L1  

                         5 y - 5 z = - 5                    L2 

                           5 y  - 5 z =- 1                     L3  

      c-à-d      

                      x - y + 2 z = 3                     L1  

                         5 y - 5 z = - 5                    L2 

                                    oz = 4                     L3  

          L3   est impossible.

    Il n'y a pas de solution pour le système.

---------------------------------------------------------------------------------------