POLYNÔMES

                            FEUILLE D'EXERCICES SUR LES POLYNÔMES

                                (  Mathématiques expertes)

       EXERCICE 1:

              Soit k un nombre réel.

              Soit x un nombre réel quelconque.

              Montrer par récurrence sur IN*

             que la différence  xn − kn est factorisable par x − k  pour tout  entier naturel tel que n ≥ 1.

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           REPONSE :

           Récurrence sur IN*.

          Soit x quelconque dans IR.

      • n = 1 

           Alors        xn − kn  = x − k      

          c-à-d     xn − kn  = 1 (  x − k  )    ​​​​​​

      Conclusion : Pour n = 1 le résultat est avéré.

       •  Soit n un entier naturel quelconque dans IN*.

         Montrons que si   xn − kn      est factorisable par x − k

          alors   xn + 1 − kn + 1       est factorisable par x − k.

               On a    en ajoutant 0 : 

               xn + 1 − kn + 1    =   xn + 1   −   x  kn    +   x  kn     − kn + 1   

            c-à-d    en factorisant x dans les deux premiers termes et

               kn dans les deux derniers termes :

                 xn + 1 − kn + 1    = x (   xn − kn    ) + kn  ( x − k )

             Mais on sait que   xn − kn      est factorisable par x − k .

             Donc     xn + 1 − kn + 1     est une combinaison linéaire de deux termes 

                 factorisable par x − k .

             Ainsi    xn + 1 − kn + 1     est lui même factorisable par x − k .

           D'où :

           Conclusion : 

         Soit k un nombre réel .

         La différence  xn − kn est factorisable par x − k  pour tout  entier naturel n tel que n ≥ 1

          pour tout nombre réel x.        

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          EXERCICE 2:        

      En acceptant le résultat de l'exercice précédent montrer que

      tout polynôme P(x) à coefficients réels, qui admet un réel k

      comme racine est factorisable par ( x – k ).

       ( On peut distinguer les cas où le degré de P( x ) est 

          0 ou 1 ou un entier n ≥ 2 )

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 REPONSE :

     • Cas 1 :

          Soit P(x) un polynôme constant.

          Alors il existe a dans IR tel que P(x) = a pour tout x dans IR.

            Or P( k ) = 0

           Donc : a = 0

           Ainsi : P(x) = 0       pour tout x dans IR

            c-àd :

            P(x) = 0( x – k )         pour tout x dans IR

           Conclusion : P(x ) est factorisable par ( x – k )    .

     • Cas 2 :

          Soit le polynôme  P( x )  = a x + b    où a et b sont des réels

          et x dans IR .

          Donc P( k ) = a k + b

          Par soustraction membre à membre il vient:

           P( x )  − P(k ) = a x + b − ( a k + b ) = a x + b −  a k − b 

          c-à-d     en factorisant a :

          P( x ) − P( k ) = a (x − k )       pour tout x dans IR

          Mais  P( k ) = 0

          Donc :

           P(x )= a (x − k )     pour tout x dans IR.

           Conclusion : P(x ) est bien factorisable par ( x – k ).

     • Cas 3 :

         Soit P(x) un polynôme degré n avec  n ≥ 2 , à coefficients réels.

          Alors P(x) admet une écriture de la forme:

          P(x ) = an xn + an − 1  xn − 1 + …. + a1 x + a0        pour tout x dans IR.

           où les an , an − 1 , ….. , a1 , a0   sont des nombres réels.

           Soit x dans IR quelconque.

          On a :

           P( k ) = 0

           c-à-d

                0   = an kn + an − 1 kn − 1 + …. + a1 k + a0 

           Par soustraction membre à membre puis factorisation des coefficients

             il vient :

          P(x ) − 0 = an (xn − kn ) + an −1 ( xn − 1  − kn − 1 )  + …. + a1 (x – k)

         P(x) est ainsi une combinaison linéaire des différences, 

           (xn − kn ) ,   (xn − 1  − kn − 1 ) , ......... , (x – k).

        Or chacune de ces différences est factorisable par ( x – k ) .

         Donc  on peut factoriser  ( x – k )  dans l'expression de P( x ) .

            Conclusion : P(x ) est factorisable par ( x – k )   pour tout x dans IR.

          Conclusion finale : Le résultat demandé est avéré:

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      EXERCICE 3 :

           Soit k un nombre réel.

           Soit P( x ) un polynôme de degré n avec n ≥ 2 .

            En admettant le résultat de l'exercice précédent,

           Montrer que l'équivalence :

  (  P( k ) = 0 et  P ' ( k ) = 0   )   <==>     k  est une racine double de P( x )

                                                          ( c-à-d    P( x ) est factorisable par  ( x – k ) 2    )

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   REPONSE :

        Montrons les deux implications.

     • ==>          

       Soit k un nombre réel.

      Soit P( x ) un polynôme de degré n avec n ≥ 2 .

      Soit   P( k ) = 0 et  P ' ( k ) = 0  .

       On sait, que P( k ) = 0,  implique que P( x ) est

        factorisable par  ( x – k ).

       Donc, il existe  un polynôme Q( x ) tel que :

           P( x ) =  ( x – k ) Q( x )   pour tout x dans IR 

            P étant dérivable sur  IR, il vient alors:

       P ' ( x ) = 1 Q( x )  +  ( x – k ) Q ' ( x )      pour tout x dans IR 

        D'où   pour x = k 

            P ' ( k ) =  Q( k )  

        Mais on sait que   P ' ( k ) = 0

          Donc     Q( k )   = 0

       Ainsi       Q( x )  est factorisable par  ( x – k ).

       c-à-d       il existe un polynôme H( x )

                 tel que   Q( x )  =  ( x – k ) H( x )   pour tout x dans IR 

           On en déduit  :   

              P  ( x ) =   ( x – k ) Q( x ) = ( x – k ) H( x )   pour tout x dans IR 

        On a bien montré que  k  est une racine double de P( x )

        Conclusion : La première implication est prouvée .

   <==

           Pour l'implication réciproque.

          Soit k un nombre réel.

           Soit P( x ) un polynôme de degré n avec n ≥ 2 , 

           qui admet la racine double k .

            Alors il existe un polynôme Q( x )   tel que

            P( x )  =  ( x – k )2  Q( x )   pour tout x dans IR .

            P( k ) = 0 est donc  vrai.

           De plus  P est dérivable sur IR.

            Il vient:    P '( x )  = 2 ( x – k ) Q( x ) +   ( x – k )2  Q '( x )     pour tout x dans IR .

            Ainsi pour x = k   il vient :

              P '( k )  = 2 ( k – k ) Q( k ) +   ( k – k )2  Q '( x ) =  0

          On bien  aussi :     P '( k )  = 0

         Conclusion : La réciproque est vraie.

         Conclusion  finale: L'équivalence est avérée

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          EXERCICE 4:

        Soit le polynôme  P( x ) = x3  + p x + q      

          avec p  –  75    et  q =  –  250

       1 Trouver une racine  réelle de P( x ) à l'aide de la méthode de Cardan.

       2. Regarder si cette racine est une racine double de P( x ) .

       3 . Donner la forme  factorisée de P( x ).

        4.  Calculer 4 p3   + 27 q    .

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  REPONSE:

    1. Recherche avec Cardan d'une racine réelle.

         On peut le faire à la main ou avec le programme déjà rencontré.

        Avec le programme de Python 2.7   :

>>> cardan()
 Résolution de l'équation x^3 + p x + q = 0 
en suivant la méthode historique de Cardan.

 p et q sont des nombres réels. 
Donner le réel p, coefficient de x :
-75
Donner le réel q , coefficient constant : -250
 
Ainsi on a : x^3 + ( -75 )x + ( -250 )= 0
 L'équation du second degré associée est: 
 y^2 + q y - ( p / 3 )^3 = 0 
 Elle se traduit par : 
y^2 +( -250 )y +( 15625 ) = 0
 Son discriminant est D = ( 4 p^3 + 27 q^2 )/ 27   
 Ce discriminant D est du signe de  4 p^3 + 27 q^2 .  
 D =  0
    0 >= 0 
 On peut utiliser la méthode de Cardan pour avoir une racine réelle de l'équation de départ.
 Les solutions u^3 et v^3 de l'équation associée sont donc :  125.0 et 125.0
dont des racines cubiques réelles sont respectivement:   u = 5.0 et  v = 5.0
 On vérifie la condition imposée par Cardan au début, 3 uv+ p = 0 à 12 décimales près. 
On a bien :  3 uv+ p = -0.0
 Donc, c'est bien le cas. 
 On considère alors , x = u + v 
 Une solution réelle trouvée pour : x^3 + ( -75 )x + ( -250 )= 0  est donc : 
----------
  x = 10.0
----------

>>>

           Conclusion :On trouve 10 comme racine réelle.

  2 . Regardons si 10 est une racine double de P( x ) .

     Soit x dans IR.

       P ' ( x ) = 3 x2   − 75  = 3 (  x  −  25 ) =  3 ( x  −  5 ) ( x + 5 )

      P ' ( x )  n'admet pas 10 comme racine .

        Conclusion : 10 n'est pas une racine double de P( x )

      ( Attention: Cela ne veut pas dire pour autant que P( x ) n'admet pas

           de racine double, mais seulement que ce n'est pas 10 . )

     3 . Donnons la forme factorisée de P( x ) .

         P( x ) est factorisable par ( x  − 10 ) car 10 en est une racine.

         Divisons P( x ) par ( x  − 10 ).      

           x                       − 75  x     − 250                          |    x  − 10  
   −  (   x   − 10 x2   )                                                    |    x2  + 10 x + 25  
        ---------------------                                                      |  
                     10 x2       − 75 x       − 250                         |  

              −  (  10  x  −  100 x  )                                                                             

 
                   ----------------------------                   
                                         25 x      − 250   
                                  −  (  25 x      − 250  )  
                                        ---------------------                      
                                                          0  

         On a       P( x )  = ( x  − 10 ) ( x2 + 10 x + 25 )

           x2 + 10 x + 25  = ( x  + 5 )2        ( égalité remarquable )

              Conclusion :     P( x )  = ( x  − 10 ) ( x + 5 ) ( x + 5 )   pour tour x dans IR 

         (    Finalement il y a une racine double qui est  :   − 5 )

         4.  Calcul de 4 p3   +  27 q  . .

                  4 p3   + 27 q = 4 ( − 75 ) + 27 ( − 250 )  = 0

           Conclusion :  4 p3   + 27 q   = 0

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