EXERCICE 4 sur les diviseurs.

                                        Utilisation des diviseurs                          TS  spé maths           janvier 2016

      Remarque:

      •  La notion de nombre premier est déjà connue d'un élève bien avant la terminale.

          Un entier naturel est premier quand il admet exactement deux diviseurs distincts, 1 et lui-même.

          Ainsi  2 , 3 , 5 ,7  sont les nombres premiers inférieurs à 10  connus.    

      •  La notion d'entiers naturels non nuls premiers  entre eux  est aussi connues:

         ils n'ont que 1 comme diviseurs communs.

       •  Ainsi de nombreux résultats d'arithmétique évoqués en terminale ne font 

          qu'ordonner des notions simples usuelles  déjà rencontrées avant.

             EXERCICE 4 

                       Soit x et y deux entiers relatifs tels que 15 x − 7 y = 44

                         Soit d un entier relatif non nul .

      1. Montrer que si  d  divise 15 et 7  alors d divise 44 et 7.

         ( Aide:  Si d divise 15 et 7 alors d divise toute combinaison linéaire 15 a + 7 b 

                où a et b sont des entiers relatifs )           

      2. On suppose que d n'admet pas de facteur

           premier commun avec x

           Montrer que si d divise 7 et 44 alors d divise 15 et 7.  

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  REPONSE :

      1 •Soit d un entier relatif non nul qui divise 15 et 7.

          Il existe k et k ' dans l'ensemble des entiers relatifs tels que :

                   15 = d k  

                    7  = d k '

          Donc :      15 x + 7 y = d k x + d k ' y = d ( k x + k ' y ) 

                                                k x + k ' y    est un entier relatif que l'on note k''.     

         On peut dire :        

              Il existe k' ' dans l'ensemble des entiers relatifs tels que :

                   15 x + 7 y = d  k ' '   

           Donc                     15 x + 7 y   est un multiple de d

             Comme d est non nul  15 x + 7 y  est  divisible par d.

             Mais  15 x + 7 y = 44

              Ainsi d divise 44.

              Or  d divise 7.

           Conclusion: d divise 7 et 44

           2 • Soit  d un entier relatif non nul qui divise 7 et  44.                

               Il existe k et k ' dans l'ensemble des entiers relatifs tels que :

                    7 = d k  

                    44  = d k '

           Donc      Donc :      7 y + 44 = d k y  + d k '  = d ( k y  + k ' )

                       k y + k '     est un entier relatif que l'on note  k' '.     

         On peut dire :                  

          Il existe k' ' dans l'ensemble des entiers relatifs tels que :

                   7 y +  44 = d  k ' '   

        Donc                     7 y+  44   est un multiple de d

             Comme d est non nul  7y + 44  est  divisible par d.

          Mais  15 x − 7 y = 44    c-à-d      15 x = 7 y +  44

           Ainsi  d divise 15 x.

            Mais , comme d et x n'ont pas de facteurs premiers communs,  d ne divise pas x.

            d doit diviser 15.

             Or d divise 7

            Finalement d divise 15 et 7.

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