INFO FEUILLE D'EXERCICES TS1 13 novembre 2014

                 INFO FEUILLE  D'EXERCICES         TS1      13 novembre 2014   

    EXERCICE 1 :

           On considère une fonction f définie sur  l'intervalle [ 0 , + ∞ [  telle que :

               • f est dérivable dans   l'intervalle [ 0 , + ∞ [  .

                       ( Donc f est continue sur   l'intervalle [ 0 , + ∞ [  )

               • f ' est la fonction:

               • f (0 ) ≈  5 ,5 

               •   lim f  = −  ∞

                    + ∞

     1. Donner le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle  [ 0 , + ∞ [.

     2. Justifier que l'équation f( x ) = 0 admet une unique solution α dans  l'intervalle  [ 0 , + ∞ [.

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          REPONSE:

            1. Sens de variation de f.

              On a :

            Comme    2 − x < 0   quand  x > 2 

             on  a            f ' < 0 sur l'intervalle  ] 2  , + ∞ [.

             De même    f ' > 0   sur   [ 0 , 2 [          

                  Conclusion:        f est strictement décroissante sur  l'intervalle  [ 2 , + ∞ [.

                 f est strictement croissante sur l'intervalle  [ 0, 2 ]

   2. Existence et uncité de α.

               •   f est une fonction  strictement croissante sur l'intervalle   [ 0, 2 ]

                                  f ( 0 ) ≈ 5,5

                     Donc  f  > 0 sur [ 0 , 2 ]

                           f ne s'annule pas sur l'intervalle [ 0 , 2 ].

                       De plus   f( 2 ) > 0.

                •  f est strictement décroissante sur  l'intervalle  [ 2 , + ∞ [.

                     De plus  lim f = − ∞       et       f( 2 ) > 0  

                                               + ∞

                     Donc   0  est compris entre  f( 0 )  et  lim f 

                                                                                          + ∞

               Ainsi,  d'après la généralisation du Th de la bijection,  on a l'équation f( x ) = 0

               qui admet une unique solution α  sur  l'intervalle  [ 2 , + ∞ [.

                Conclusion:   l' équation f ( x ) = 0  admet une unique solution α  sur  l'intervalle  [ 0 , + ∞ [.

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     EXERCICE 2

                  On considère une fonction u définie dans IR telle que :

                        • u est dérivable dans IR. ( Donc u est continue dans IR )

                        •  u ( x ) ×  u ( − x ) = 1     pour tout x dans IR

                        • u( 0 ) ≥ 0 

            1. La fonction u peut-elle s'annuler dans IR ?

            2. La fonction u  peut-elle prendre des valeurs de signes contraires dans IR ?

            3. Que vaut u ( 0 )  ?

            4. Quel est le sens de variation de la fonction u   si  u' = u  dans  IR ?

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       REPONSE:

              1. Regardons si  u( x ) = 0 admet au moins une solution dans IR.

                    On sait:   u ( x ) ×  u ( − x ) = 1     pour tout x dans IR

                    S'il existait un réel a tel que u ( a ) = 0 on aurait 

                          u ( a ) × u( − a ) = 0 × u(  − a ) = 0

                    Or      u ( a ) × u ( − a ) = 1

                  Comme  1 ≠ 0   C'est impossible.

               Conclusion : NON

            2.  Raisonnons par l'absurde.

                Supposons que l'on ait deux réels a et b

                 tels  que  a ≠ b  et u ( a ) > 0 et u ( b ) < 0

                Sur l'intervalle fermé d'extrémités a et b  on a  u qui  est 

                   définie , continue et 0 est compris entre u ( a ) et u ( b ) .

                 Donc d'après le Th des valeurs intermédiaires il existe au moins

                  un réel compris β  entre  a et b tel que  u( β )  = 0.

                 Mais c'est en contradiction avec le résultat de la question précédente

                qui dit que la fonction u ne s'annule jamais dans IR.

      Conclusion :        u ne peut pas prendre sur IR des valeurs de signes contraires.

       3. Calcul de u( o ).

             On a :        u ( 0 ) ×  u ( −  0 ) = 1      en remplaçant x par 0 dans   u ( x ) ×  u ( − x ) = 1

                               c-à-d     ( u( 0 ) )² = 1

                  Donc            u ( o ) ne peut être que   − 1 ou 1

                Mais     u ( 0 ) ≥ 0  d'après l'énoncé.           

                 Conclusion :   u ( 0 ) = 1

      4. Sens de variation de u.  

            Comme u ( 0 ) = 1   et   u ne s'annule pas dans IR  et  u ne peut pas prendre

            des valeurs de signes contraires  on a:

               u( x )  > 0 pour tout nombre réel x   

               Mais cela, en lui-même, ne suffit pas pour donner le sens de variation de u.

              Si l'on sait par ailleurs que u ' = u sur IR 

           Alors  u ' > 0 sur IR.

           On peut alors conclure que:

                          u est strictement croissante sur IR.

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              EXERCICE 3 :

              Soit u une fonction définie et dérivable dans IR.

              1 . Soit a dans IR et h un réel non nul.

                    Montrer l'égalité :

                    en posant  k = − h

              2. Qu'est-ce que :

             3. En déduire  la fonction dérivée de la fonction  x → u ( - x ).

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         REPONSE:

          1.  Egalité à établir.

           Soit a dans IR et h un réel non nul.

       2. Signification de la limite proposée.

           u est définie et dérivable en  − a 

           de nombre dérivé u' ( − a )  en   − a.

         Conclusion:

           Le nombre dérivé  en  − a  de la fonction u est  le réel :           

       3. Déduction de la fonction dérivée de  x → u ( − x ):            

          Soit  a dans IR et  h réel  non nul .

           Comme :

            c'est-à-dire

            −  u ' ( − a )   est le nombre dérivé  en a de la  fonction  x → u ( − x )

                             pour tout réel a.

            Conclusion:  la fonction dérivée de la fonction  x → u ( - x )

                         est   x →  − u ' ( − x )     sur   IR

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