LISTE 1 EX PROD SCAL MARS

 

LISTE D'EXERCICES SUR LE PRODUIT SCALAIRE           1S         MARS 2009

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     EX 0 .   On a les points A | 2 , - π / 4 ]   et B [1 , 7π /6   ]. 

                 Trouver l'angle orienté ( vect OA ) , vect( OB ) ).

  Rép.       ( vect( OA ) , vect( OB ) ) =   17 π / 12   | 2 π ]   

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       EX1 .  ABCD est un carré direct de centre O et de côté de longueur 4.

                  Trouver les produits scalaires suivants:

                     vec( AB) . vect( BC )      :   vec( AB) . vect(CD )   ;    vec( AB) . vect(DO )

              

            Rép.        vec( AB) . vect( BC ) = 0   

                           vec( AB) . vect(CD ) = - 16

                           vec( AB) . vect( DO )  = 8

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   EX2         On dispose des points A ( - 2 ; - 2 )  , B ( 3 ; 1 ) , C ( - 1 : 2 ).

                 Trouver   AB , AC  ,  vect( AB ) . vect( AC  ) , cos (vect( AB ), vect( AC  ) ) .

                Trouver  BÂC .sachant qu'il s'agit d'un angle aïgu.

               Rép.

                   vect( AB ) ( 5 ; 3 ).

                    vec(AC)  ( 1 ; 4 ).

                    AB = √ (2 ) √ ( 17 )

                     AC =   √ ( 17 )

                    vect( AB ) . vect( AC  )  = 17

                     cos ( vect( AB ) , vect( AC  ) ) =  √ (2 )  / 2               

                      BÂC = π / 4  radians .       

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         EX   3 

                       1. Soit ABC un triangle direct isocèle en A.

                          Trouver le produit scalaire   vect( BC ) . vect( BA ) )

 

                          Rép.        vect( BC ) . vect( BA ) ) = 8      

 

                      2.  Soit le cercle ( C ) de centre I( a , b ) et de rayon R.

                          Montrer que ( C ) a pour équation ( x - a )² + ( y - b ) ² = R².

                           Rép.   Soit le point M( x , y ) .  Traduire IM² = R²

                       3. L'ensemble des points M( x , y ) du plan tels que :

                               x² + y² - 4 x - 2 y = 0 est -il un cercle ?

 

                         Rép.   OUI  car  l'équation devient ( x - 2 )² + ( y - 1 )² = ( √5 )²

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  EX 4               a. Donner une équation du cercle de centre I( 1 ; 4 ) et de rayon 2.

                          Rép.   ( x- 1 )² + ( y - 4 )² = 4

                            c-à-d     x² + y ² - 2x - 8 y + 13 = 0

                       b. Soit la droite D qui passe par le point A( 2 , 3 ) et est de vecteur

                           directeur vect( u ) de coordonnées ( - 1 , 2 ).

                            On écrit  D( A , vect( u ) ).

                           Trouver un  vecteur vect( n ) non nul qui soit ortogonal à vect( u ).

                             ( Le vecteur vect( n ) est dit " vecteur normal à D )

                             Rép.    Le vecteur vect( n ) de coordonnées (  2, 1 ) convient.

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