TEST BTS1 3 février 2016 Systèmes linéaires et matrices
EXERCICE 1
Une entreprise IBAYK de Lille fabrique des vêtements:
En particulier, elle vend à deux grosses chaînes de distribution A et B,
des pantalons légers, des vestes polos, des chemises d'été.
Les frais d'expédition et de conditionnement HT sont de:
3 € pour un pantalon
4 € pour une veste
2 € pour une chemise
En mai 2015 A et B ont passé la commande suivante:
Mois de mai 2015 | Nombre de pantalons | Nombre de vestes | Nombre de chemises |
A | 10 | 15 | 50 |
B | 5 | 7 | 20 |
HT , un pantalon est vendu 20 € , une veste est vendue 55 € et une chemise est vendue 4 € .
On pose :
1. Calculer la matrice M x P . Interpréter ses quatre coefficients.
On a :
1225 € est le montant HT et sans les frais payé par A.
190 € est le montant des frais HT payés par A.
565 € est le montant HT et sans les frais payé par B.
83 € est le montant HT des frais payés par B
2. Quel a été le montant HT de la commande de A frais compris?
A a payé HT : 1415 € car 1225 + 190 = 1415
3. Quel a été le montant HT de la commande de B frais compris ?
B a payé HT : 648 € car 565 + 83 = 648
4. Pour le mois de juin l'entreprise modifie ses tarifs HT pour atteindre se objectifs.
Un pantalon est vendu : x €.
Une veste est vendue : y €.
Une chemise est vendue : z €.
Les distributeurs A et B maintiennent la même commande.
Mais l'entreprise IBAYK souhaite que le distributeur A lui rapporte HT sans les frais 2700 €.
Elle souhaite aussi que le distributeur B lui rapporte HT sans les frais 1170 €.
a. Traduire les données par un système sous forme matricielle.
On a :
b. Calculer les nouveaux tarifs HT , x , y , z.
Vu le nombre d'équations et le nombre d'inconnues on trouve
x et y en fonction de z.
On va donc transposer les termes en z pour les mettre dans les seconds membres.
On retranche deux fois la seconde équation à la première. Il vient:
On transpose le 7 y en remplaçant le y .
Il vient:
c-à-d en divisant par 5 les deux membres de la seconde équation:
Conclusion:
x = 10 z − 270 €
y = 360 − 10 z €
z un réel positif en €
Par exemple pour z = 30 € on a x = 30 € et y = 60 €
On peut essayer d'autres valeurs positives de z.
Il y a une infinité de possibilités.
c. Donner pour chaque article le pourcentage de hausse.
Le principe est le suivant : [ ( prix nouveau − prix ancien) / prix ancien ] x 100 %
Pour un pantalon : [ ( 10 z − 270 − 20 ) / 20 ] x 100 % = 50 z − 1450 %
Pour une veste : [ ( 360 − 10 z − 55 ) / 55 ] x 100 % = [ ( 305 − 10 z ) / 55 ] x 100 % = 6100 / 11 − 200 z /11 %
Pour une chemise : [ ( z − 4 ) / 4 ] x 100 % = 25 z − 100 %
Par exemple : x = 30 y = 60 z = 30
On a respectivement 50 % 9, 09 % 650 %
d. A et B envisagent de trouver un autre fournisseur pour les chemises.
Cela est-il justifié selon vous ?
On voit dans l'exemple que cela semble justifié.
( Tous les détails des calculs sont à écrire sur la copie. )
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EXERCICE 2:
Soit les deux matrices :
1. Calculer A2 avec la calculatrice.
Conclusion:
2. Soit a et b deux nombres réels.
Trouver la matrice carrée de type ( 3 , 3 ): a A+ b I
On a :
3. On pose: A2 = a A+ b I noté ( 1 )
Montrer que cette égalité se traduit par un système d'inconnues
a et b que l'on résoudra.
On a ( 1 )
c-à-d
Ainsi :
Conclusion : a = 1 et b = 2
On a : A2 = A + 2 I
4. Mettre ( 1 ) sous la forme A x M = I où M est une
matrice que l'on caractérisera.
On a : A2 = A + 2 I
c-à-d A2 − A = 2 I en transposant A
c-à-d A ( A − I ) = 2 I en factorisant A
c-à-d A x 0,5 ( A − I ) = I en divisant par 2 chaque membre
Ainsi il vient :
Conclusion: M = 0,5 ( A − I ) et A x M = I
5. Donner M avec ses coefficients.
On a:
:
6. Calculer A − 1 . Que remarquez -vous ?
c-à-d
A − 1 = M
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EXERCICE 3
1. a. Mettre sous la forme matricielle le système :
2 x + y + z = 4
2 y − z = − 5
3 x + 2 y + z = 4
On a :
2 x + y + z = 4
0 x + 2 y − z = − 5
3 x + 2 y + z = 4
c-à-d
il vient : M x X = Y
b. Résoudre dans IR3 ce système .
M x X = Y devient X = M − 1 x Y comme M est inversible
x = 1 y = − 1 z = 3
L'ensemble solution est : { ( 1 , − 1 , 3 ) }
2. a. Mettre sous la forme matricielle le système :
x + y − 2 z = 1
2 x + 2 y − z = 8
3 x − y + z = 5
Cela se traduit par
On pose :
il vient : M x X = Y
b. Résoudre dans IR3 ce système .
M x X = Y devient X = M − 1 x Y comme M est in versible
Conclusion:
x = 2 y = 3 z = 2
L'ensemble solution est : { ( 2 , 3 , 2 ) }
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EXERCICE 4
La parabole P d'équation y = a x2 + b x + c dans un repère orthonormé du plan
passe par les points A( 1 ; 2 ) , B ( − 1 ; − 2 ) et C( − 2 ; − 7 ).
1. Traduire A est sur P , B est sur P , C est sur P
• A( 1 ; 2 ) sur P donc : 2 = a + b + c
• B ( − 1 ; − 2 ) sur P donc: − 2 = a − b + c
• C( − 2 ; − 7 ) sur P donc : − 7 = 4 a − 2 b + c
2. Former un système d'inconnues a , b , c.
On a : a + b + c = 2
a − b + c = − 2
4 a − 2 b + c = − 7
3. Résoudre le système pour trouver les valeurs de a , b , c.
On a :
M x X = Y devient X = M − 1 x Y comme M est in versible
Conclusion:
a = − 1 b = 2 c = 1
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