INFO TEST 3 Février 2016

                        TEST  BTS1       3   février 2016   Systèmes linéaires et matrices      

    EXERCICE 1

              Une entreprise IBAYK de Lille fabrique des vêtements:

              En particulier, elle vend à deux grosses chaînes de distribution  A et  B, 

              des pantalons légers, des vestes polos, des chemises d'été.

               Les frais d'expédition et de conditionnement  HT sont de:

                     3 € pour un pantalon

                     4 € pour une veste

                   2 € pour une chemise

            En mai 2015 A et B ont passé la commande suivante:

Mois de mai 2015  Nombre de pantalons Nombre de vestes Nombre de chemises
 A 10 15 50
B 5 7 20

          HT , un pantalon est vendu  20 € , une veste est vendue 55 €  et une chemise est vendue 4 € .

                              On pose :  

                     Tadei

                                    Tadei1

      1. Calculer la matrice M x P . Interpréter ses quatre coefficients.

                 On a :

                      Sy1

                  1225 €   est le montant HT et sans les frais payé par A.

                     190 € est le montant des frais HT  payés par A.

                     565 €    est le montant HT et sans les frais payé par B.

                      83 € est le montant HT des frais payés par B

      2. Quel a été le montant HT de la commande de A frais compris?

               A a payé HT :  1415 €                           car     1225 + 190 = 1415

      3. Quel a été le montant HT de la commande de B frais compris  ?

               B a  payé HT : 648 €                           car     565 + 83 = 648 

     4. Pour le mois de juin l'entreprise modifie ses tarifs HT pour atteindre se objectifs.

                   Un pantalon est vendu :  x €.

                   Une  veste est vendue :   y €.

                   Une chemise est vendue : z €.

          Les distributeurs A et B maintiennent la même commande.

          Mais l'entreprise IBAYK souhaite que le distributeur A lui rapporte  HT sans les frais  2700 €.

          Elle souhaite aussi que le distributeur B lui rapporte  HT sans les frais 1170  €.

          a. Traduire les données par un système sous forme matricielle.

              On a :

                                     Sy2 1

          b. Calculer les nouveaux tarifs HT , x , y , z.

              Vu le nombre d'équations et le nombre d'inconnues on trouve

             x et y en fonction de z.

            On va donc transposer les termes en z pour les mettre dans les seconds membres.

                  Fg45789  

            On retranche deux fois la seconde équation à la première. Il vient:

                Sy5

               On transpose le  7 y  en remplaçant le y .

               Il vient:

                  Sy6

               c-à-d   en divisant par 5 les deux membres de la seconde équation:

                    Sy7

            Conclusion:

                  x = 10 z − 270    € 

                 y = 360 − 10 z   €

               z un réel positif   en €

             Par exemple pour z = 30  €  on a   x = 30  €   et   y   = 60   €

             On peut essayer d'autres valeurs positives de z.

            Il y a une infinité de possibilités.

      c. Donner pour chaque article le pourcentage de hausse.

         Le principe est le suivant :    [  ( prix nouveau  − prix ancien) / prix ancien  ] x 100      %

      Pour un pantalon : [ (  10 z − 270  − 20 ) / 20 ] 100   %   =  50 z − 1450     %

     Pour une veste :   [  ( 360 − 10 z  − 55 ) / 55 ] 100   %     =  [ ( 305 − 10 z ) / 55 ] 100   % =   6100 / 11 −  200 z /11       %

    Pour une chemise : [  ( z − 4 ) / 4 ] 100   %     =  25 z − 100   %

                   Par exemple :         x = 30               y = 60             z = 30 

                 On a respectivement      50 %        9, 09 %       650 %

      d. A et B envisagent de trouver un autre fournisseur pour les chemises.

                     Cela est-il justifié selon vous ?

                On voit dans l'exemple que cela semble justifié. 

      (   Tous les détails des calculs sont à écrire sur la copie. )

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      EXERCICE 2:

       Soit les deux matrices : 

                            Tadei2

           1. Calculer A2  avec la calculatrice.

                Conclusion:

                         Sy8

           2. Soit a et b deux nombres réels.

                 Trouver la matrice carrée de type ( 3 , 3 ):          a A+ b I

                On a :

               Sy10

          3. On pose:     A2 =   a A+ b I          noté ( 1 )

              Montrer que cette égalité se traduit par un système d'inconnues

              a et b que l'on résoudra.

          On a ( 1 )

              c-à-d

                Sy11  

             Ainsi :

                Conclusion :   a = 1     et     b = 2

               On a :               A2 =  A + 2 I

          4. Mettre ( 1 ) sous la forme A x M = I  où M est une

               matrice que l'on caractérisera. 

                  On a :         A2  =  A + 2 I

                 c-à-d             A2   −  A =  2 I                      en transposant A

                  c-à-d            A ( A  −   I )  =  2 I                en factorisant A

                  c-à-d         A x 0,5 ( A  −   I )  =   I        en divisant par 2 chaque membre

               Ainsi  il vient  :

                        Conclusion:   M =  0,5 ( A  −   I )         et          A x M =    I

         5.  Donner  M   avec ses coefficients.

             On a:

                       Fazer47

        6. Calculer A − 1   . Que remarquez -vous ?

              Sy14

                      c-à-d

                        A − 1   = M  

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         EXERCICE 3

      1. a. Mettre sous la forme matricielle  le système :

                     2 x + y + z = 4

                            2 y − z = − 5

                    3 x + 2 y + z = 4

              On a :                  

                        2 x +  y +  z  = 4

                        0 x + 2 y − z = − 5

                        3 x + 2 y + z  = 4

              c-à-d

               Sy19

                    il vient :     M x X = Y  

           b.  Résoudre dans IR3 ce système .

                      M x X = Y   devient         X = M − 1 x Y     comme M est inversible

                  x = 1     y = − 1      z = 3

              L'ensemble solution est : { (  1   ,    −  1    ,    3  )  }

     2.   a. Mettre sous la forme matricielle  le système :

                       x + y −  2 z = 1

                       2 x +  2 y − z = 8

                        3 x −  y + z = 5

             Cela se traduit par 

                  Sy15

               On pose :

                Sy17

            il vient :     M x X = Y  

              b.  Résoudre dans IR3 ce système .

                     M x X = Y   devient         X = M − 1 x Y     comme M est in versible

                  Conclusion:

                     x =  2       y = 3        z =    2

                  L'ensemble solution est : { (   2   ,    3  ,     2  )  }

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    EXERCICE 4 

        La parabole P d'équation  y = a x2 + b x + c   dans un repère orthonormé du plan 

       passe par les points A( 1 ; 2 ) , B ( − 1 ; − 2 ) et C( − 2 ; − 7 ).                            

       1. Traduire  A est sur P , B est sur P , C est sur P

                • A( 1 ; 2 )          sur P   donc :  2 =  a + b + c

               • B ( − 1 ; − 2 )   sur P   donc: − 2 = a − b + c

              • C( − 2 ; − 7 )   sur  P   donc  :   − 7 =  4 a − 2 b + c

      2. Former un système d'inconnues a , b , c.

             On a :           a + b + c  = 2   

                                a  − b + c =  − 2    

                             4 a − 2 b  +  c   =  − 7      

      3. Résoudre le système pour trouver les valeurs de a , b , c.

                      On a :

                 Sy20         

    M x X = Y   devient         X = M − 1 x Y     comme M est in versible

                  Conclusion:

                     a =  − 1      b =  2        c  =   1    

                               Tadei4

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