INFO Maths.approfondies ex 1 BTS SIO 2017

             INFO   SUJET  BTS SIO 2017 

                                                 Mathématiques approfondies

                                                  Exercice 1        10 points

            Cet exercice envisage plusieurs études réalisées par une société qui pratique des
            sondages auprès de ses clients.
            Les trois parties sont indépendantes.


                                                 PARTIE 1
           La société pratique les sondages par courriel, et a recueilli les données suivantes au
           cours de cinq campagnes de sondage.

 Nombre de clients contactés : x 200 200 250 280 370
Nombre de sondages renvoyés : y 140 135 160 185 260

           1. Déterminer le coefficient de corrélation linéaire entre x et y, arrondi au centième.

               REPONSE:  

                 Avec la calculatrice r ≈ 0,991

                Conclusion : r ≈ 0,99      au centième 
          2. Déterminer une équation de la droite de régression de y en x par la méthode
              des moindres carrés, en arrondissant les coefficients au centième.

              REPONSE:

                Avec la calculatrice:    y = a x + b

                a  ≈ 0,717         et  b  ≈ − 10,465

                Conclusion: y = 0,72 x − 10,46
           3. La société souhaite recevoir davantage de sondages, en contactant un plus
              grand nombre de clients.
              En utilisant l’ajustement affine trouvé à la question précédente, estimer le
              nombre de sondages qui seront renvoyés si la société contacte 500 clients, en
              arrondissant ce nombre à la dizaine.

              REPONSE :

                 Soit x = 500

                 On a :     y = 0,72 × 500  − 10,46

                 Donc :    y = 349,54

         Conclusion :  Le nombre de sondages estimés est  350  à la dizaine.
 

                                      PARTIE 2

           La société réalise un sondage auprès d’utilisateurs d’internet.

         On considère une personne choisie au hasard dans la population des sondés.
         On définit les évènements suivants :
         A : « la personne utilise internet depuis 5 ans ou plus » ;
         B : « la personne répond au sondage ».
         Les statistiques de la société permettent de dégager les faits suivants :
         • 75 % de la population des personnes sondées utilisent internet depuis 5 ans
           ou plus ;
        • si une personne sondée utilise internet depuis 5 ans ou plus, la probabilité
          qu’elle réponde au sondage est égale à 0,6 ;
        • si une personne sondée utilise internet depuis strictement moins de 5 ans, la
          probabilité qu’elle réponde au sondage est égale à 0,3.
         1. Présenter la situation de l’énoncé à l’aide un arbre pondéré, que l’on complètera.

             REPONSE:

                 Au1
        2. Calculer Au2 , puis P(B) en détaillant les calculs.

            REPONSE:

           On a : 

               Au3

              Ainsi:

              Au5

             P( B ) = 0,450 +  0,075 = 0,525

        Ainsi :

          Conclusion:   P( B ) = 0,525     et   

                      Au4

      3. Calculer PB (A), en arrondissant au millième.
          Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

          REPONSE:

          PB( A ) =  P( A  B ) / P( B )

          Or :     P( A  B ) = 0,450

                  et  P( B ) = 0,525

       Donc:     PB( A ) = 0,450 / 0,525

                    PB( A ) ≈   0,8571

      Conclusion:     PB( A ) ≈ 0,857   au millième.

           On peut l'interpréter en disant que si  la personne a répondu au sondage

           il y a 85,7% de chance que la personne utilise internet depuis 5 ans ou plus. 

                                        PARTIE  3
        1. La société étudie le temps mis par les personnes pour renseigner le questionnaire

            relatif à un sondage donné. Elle modélise ce temps, exprimé en minute,
            par une variable aléatoire T qui suit la loi normale d’espérance 12,5 et d’écart
            type 1,8.
           a. Donner un arrondi au dixième du nombre a tel que
                P( 12,5 − a ≤  T  ≤ 12,5 +  a) = 0,95.

                  REPONSE:

                   Considérons :   P( 12,5 − a  ≤ T  ≤  12,5 + a ) = 0,95

                         c-à-d           P( μ  −  ≤ T   ≤  μ + a  ) = 0,95        car  μ = 12,5

                      Mais :      P( μ − 2 σ ≤ T   ≤ μ + 2 σ  ) = 0,954  

                      Vue la précision demandée ( au dixième ) pour a on peut considérer que :

                                P( μ  −  ≤ T  ≤  μ + a  ) ≈ P( μ  − 2 σ  ≤ T   ≤ μ + 2 σ  ) 

                        Donc :       a = 2 σ       peut  convenir

                        c-à-d         a = 2 × 1,8

                  Conclusion :    a = 3,6   au dixième  

            b. Calculer P(T ≥ 15), en arrondissant au centième.
               Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

                REPONSE:

                  On a :    P(T ≥ 15) = P( 15 ≤  T )

               Avec la calculatrice TI 84 +:

                    P( 15 ≤  T ) =   normalcdf( 1.5,10^99 ,12.5,1.8)

            c-à-d 

                   P( 15 ≤  T ) ≈  0,0824

              Conclusion :   P(T ≥ 15)  ≈  0,082

             On peut dire qu'il y a 8,2 % de chance que le temps mis par

             les personnes pour renseigner le questionnaire soit d'au moins 15 minutes.

        2. La société remarque que 20 % des personnes qui répondent aux sondages
            renseignent le questionnaire de façon incomplète, et rendent de ce fait le
            sondage incomplet. De plus les personnes qui renseignent un questionnaire
            le font indépendamment les unes des autres.
            Pour un sondage donné, la société considère les 2 000 premières réponses
           reçues, et modélise le nombre de sondages incomplets par une variable aléatoire X 
            aléatoire X qui suit une loi binomiale. 

           a. Préciser les paramètres de cette loi binomiale.

                 REPONSE:

             On a admis que X était de loi binomiale dans l'énoncé.

            Comme on répète 2000 fois l'examination des réponses au sondage (  de façon indépendante ),

              n = 2000    .

          Comme pour chaque éxamination la probabilité d'avoir " incomplet" est de 20% ,

          p = 20%  .

       Donc:

           Conclusion :X est de loi B( 2000 ; 20 % )
         b. Calculer la probabilité que le nombre de sondages incomplets soit infé-
             rieur ou égal à 385, en arrondissant le résultat au centième.

             REPONSE:

               On veut  P(  X ≤  385 ) 

             Avec la calculatrice TI 84 +:

        P(  X ≤  385 )  ≈ binomcdf(2000,0.20,385)

       c-à-d            P(  X ≤  385 )  ≈ 0,2094

           Conclusion:    P(  X ≤  385 )  ≈ 0,209