INFO EX DE LOGIQUE DE BASE

                 INFO  EXERCICES DE BASE DE LOGIQUE          BTS1       VENDREDI 17 SEPT 2010

     •  EXERCICE 1

       Traduire à l'aide d'un connecteur :

              a.            x  dans    ] - 2  ,  4 [ 

              b.               x   dans    ] -  ∞  ,  1 [  U  ]  3 ,  + ∞ [

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       Réponse:           On peut écrire:

                a.          - 2 < x    ET    x < 4

                b.         x < 1  OU   x > 3 

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       • EXERCICE 2   

                 Soit x dans IR,

                l'implication  x² = 4    =>  x = 2

                est-elle toujours vraie ?

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    Réponse:

              NON 

              C'est faux quand  x = - 2          ( Contre exemple )

          En effet: 

           Pour x = - 2 ,   on a   x² = 4   vraie   et    x = 2   fausse.

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           • EXERCICE 3                 

                     Soit x dans IR,

                l'implication  x  ≥  10    =>  x²  ≥  10   

                est-elle toujours vraie ?

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         Réponse:

               OUI

            Soit x dans IR.

               La fonction    x → x²   est croissante sur IR⁺  .

              Donc :     

                        x  ≥  10    =>  x²  ≥ 10²     est vraie     ( Hypothèse auxiliaire )

              or         x²  ≥ 100   =>    x²  ≥ 10    est vraie

           D'où          x  ≥  10    =>  x²  ≥ 10     est vraie    

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   • EXERCICE 4  

               Mettre les valeurs de vérité:

                   a.  

               Rappel :   lne² = 2 lne = 2 × 1 = 2

        b.  

           Rappel :   ln e =  1         ln( 1 / 2 ) = - ln 2           ln 2  ≈   0,69

                    c.

           Rappel:   Soit p , q deux propositions. 

                Si p est fausse alors          p => q   est vraie

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     • EXERCICE 5     

                     a. Traduire avec des quantificateurs l'affirmation :

                              <<  Pour tout x dans IR il existe au moins un entier relatif n tel que  n ≤ x < n + 1    >>

                     b.   Exprimer la négation de l'affirmation précédente.

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        Réponse:

            a.

                       ^{,    n ≤ x < n + 1}   

                    ^c-à-d 

                       ^{,    n ≤ x      ET    x < n + 1}      

            ^b.                    

                     ^{,   x < n  OU  x  ≥ n + 1}  

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            • EXERCICE 6                  

                        a. Donner la contraposée de :

                                  2 > 1     =>    5 = 31

                        b. Soit p , q deux propositions .

                             Comparer  p  => q   avec    NON( p )  OU  q .

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    Réponse:

          a.          5 ≠ 31    =>   2  ≤  1   

          b.                p  => q     <=>    NON( p )  OU  q  

                       En effet:

    Les deux dernières colonnes ont les mêmes valeurs de vérités                            

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            • EXERCICE 7        

                          a. Montrer que :           2ⁿ     ≥  1         pour tout n dans IN

                               par récurrence dans IN.

                          b. De même montrer que:

                                  0 + 1 + 2 + ..... + n = (  n ( n + 1 )  ) / 2             pour tout n dans IN

                                  par récurrence dans IN.

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   Réponse:                  

                  a.                 2ⁿ     ≥  1        avec  n dans IN 

                                    est une propriété définie dans IN.

                                Montrons par récurrence sur IN qu'elle est vraie sur tout IN.

                              Deux étapes:

                             • •   n = 0     ( Amorce )

                                   2ⁿ     ≥  1   est vraie     car    2ⁿ   =  2⁰     =  1    

                              • • Soit n dans IN quelconque.       ( Caractère héréditaire )

                                Montrons que si     2ⁿ     ≥  1     alors   2^{n + 1}     ≥  1    

                               Considérons :    2ⁿ     ≥  1    

                                 Alors en multipliant par   2  chaque membre il vient:

                                             2ⁿ  ×  2    ≥  1   ×   2 

                                   c-à-d        2^{n + 1}     ≥  2

                                    Mais                         2  ≥  1    

                                   d'où        2^{n + 1}     ≥   1   

                      Conclusion : La propriété est prouvée sur IN par récurrence. 

                   b.            0 + 1 + 2 + ..... + n = (  n ( n + 1 )  ) / 2        avec  n dans IN                            

                                  est une propriété définie dans IN.

                                Montrons par récurrence sur IN qu'elle est vraie sur tout IN.

                               Deux étapes:

                                     • •   n = 0     ( Amorce )

                                        0 =  (  0 ( 0 + 1 )  ) / 2  est vraie

                                       L'égalité est vraie pour n = 0.                                            

                                    • • Soit n dans IN quelconque.       ( Caractère héréditaire )

                                      Montrons que si   0 + 1 + 2 + ..... + n = (  n ( n + 1 )  ) / 2            ( 1 )

                                 alors    0 + 1 + 2 + ..... + n + ( n + 1 ) = (  (  n+ 1 )( n + 2 )  ) / 2                      ( 2 )             

                               Considérons  ( 1 ) et ajoutons  n + 1  à chaque membre.

                              On a :               0 + 1 + 2 + ..... + n = (  n ( n + 1 )  ) / 2   

                              c-à-d               0 + 1 + 2 + ..... + n + (  n + 1 )    = (  n ( n + 1 )  ) / 2  +   (  n + 1 ) 

                              c-à-d              0 + 1 + 2 + ..... + n+ ( n + 1 )  = ( (  n ( n + 1 )  ) / 2  ) + 2 ( n + 1 )  / 2

                             c-à-d           en factorisant    ( n + 1 )    / 2

                                                 0 + 1 + 2 + ..... + n+ ( n + 1 )  = ( ( n + 1 )   / 2   )[ n  + 2 ]

                             c-à-d           0 + 1 + 2 + ..... + n+ ( n + 1 )  = ( ( n + 1 ) ( n  + 2 ) ) / 2

                                         C'est (  2 )

                                 Conclusion : La propriété est prouvée sur IN par récurrence. 

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             • EXERCICE 8      

                               Soit p , q deux propositions.

                                Etablir que:

                               NON(  p OU q )     <=>  NON( p ) ET NON( q )

                               NON(  p ET q )     <=>  NON( p ) OU NON( q ) 

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         Réponse:        

            Ainsi on a bien:       NON(  p OU q )     <=>  NON( p ) ET NON( q )

             Ainsi on a bien:    NON(  p ET q )     <=>  NON( p ) OU NON( q )