INFO DS n° 2 TS1 18/10/14

                    INFO      DS   n° 2  TS1       18 octobre 2014            2 h  

           EXECICE 1

           On considère la suite récurrente ( u_n ) définie sur IN par :

                          u₀ = − 3

                         u_{n + 1}  =  u_n  + 3 × 4ⁿ    pour tout n dans IN

              1. Trouver u₁ et u₂ .

                   u₁ = u_{0 + 1}   = u₀ + 3 × 4⁰  = − 3 + 3 = 0   

                  u₂ = u_{1 + 1}   = u₁ + 3 × 4¹  = 0 + 3 × 4 =  12

                         Conclusion:     u₁ = 0 

                                         u₂ = 12

               2. Conjecturer le sens de variation de la suite ( u_n )  puis prouver

                      par récurrence sur IN cette conjecture.

                  On a vu que   u₀ ≤   u₁  ≤  u₂    

                   On peut conjecturer que la suite (u_n ) est croissante sur IN.

                  Montrons our cela que  u_{n + 1}  − u_n  ≥ 0     pour tout n dans IN

                   Aucune récurrence n'est nécessaire ici.

                 Soit n dans IN quelconque.

                  Comme                  u_{n + 1}  = u_n + 3 × 4ⁿ   

                  on a :                   u_{n + 1}  − u_n = 3  ×  4ⁿ

                  Or                               3 × 4ⁿ   ≥ 0

                  Donc              u_{n + 1} − u_n   ≥ 0   pour tout n dans IN

                   Conclusion : La suite ( u ) est bien croissante sur IN

              3. Etablir par récurrence que  u_n = 4ⁿ-− 4  pour tout n dans IN.

                 • n = 0

                               4⁰ − 4 = 1 − 4 = − 3 = u₀    

                     L'égalité est vraie pour n = 0

                • Soit n quelconque dans IN.

                    Montrons que si  u_n = 4ⁿ  − 4  alors  u_{n + 1} = 4^{n + 1} − 4

                    Considérons: 

                            u_n = 4ⁿ  − 4

                   Donc    u_n + 3 × 4ⁿ  =  4ⁿ  − 4 + 3 × 4ⁿ    

                   c-à-d   

                                         u_{n + 1} =  4 × 4ⁿ  − 4    = 4^{n + 1} − 4

                        c-à-d     

                                  u_{n + 1} = 4^{n + 1}  −  4

                     Conclusion:   L'égalité est prouvée sur IN

        4. Trouver lim u_n   

                        n → + ∞

            Comme  4 > 1  on a     lim  4ⁿ  = + ∞

                                                 n → + ∞

              Donc               lim (  4ⁿ − 4 ) = + ∞

                                      n →  + ∞

                c-à-d 

             Conclusion :       lim u_n  = + ∞

                                        n  →  + ∞

      EXERCICE 2

          Le plan est muni d'un repère orthonormal direct 

                                       ( unité graphique 2 cm )

            PARTIE A

         On considère les points A , B , C dont les affixes respectives sont:

             z_A  = 1 + i                   z_B   = 1 − i                           z_C  = 2 

         1. Placer dans le repère orthonormal donné les points  A , B , C .

       2. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation

                     z²  − 2 z + 2 = 0

              en donnant les solutions sous la forme algébrique.

           On a :        Δ' = b' ² − a c    (  Quand b est un multiple de 2 de la forme b = 2 b '

                                                         on a  Δ = 4 Δ' .  La discussion peut se faire sur Δ' . )

                 c-à-d 

                 Δ ' = ( − 1 )² − 2 = − 1 = i²    

                  On a:            Δ ' < 0 

                  Donc les racines sont:  ( La simplification par 2 étant déjà faite )

                 (  − b' − i √| Δ ' | ) / a  = 1 − i

              et 

                   ( − b ' + i √| Δ ' | ) / a = 1 + i

             Conclusion:  S_IR = { 1 − i , 1 + i }

        3. a. Mettre sous la forme algébrique puis trigonométrique le quotient suivant:

              Or   | i | = √ ( 0 ²  +  1²  ) = 1

               Considérons :        cos θ = 0 / 1 = 0

                                            sin θ = 1 / 1 = 1  

                  θ = π / 2   convient 

                  i  = 1 ( cos( π / 2 ) + i sin( π / 2 ) )

               Conclusion: 

            b. Que peut-on en déduire pour les distances OB et OA ainsi que pour l'angle 

                Comme

                  De plus:

                    Donc :

                         Conclusion :     OA = OB

           c. Comparez les affixes des vecteurs 

              Ona:                   z_A - z_O = z = 1 + i

                et                z_C - z_B = 2 - ( 1 - i ) = 2 - 1 + i

                   Conclusion: 

     4. Justifier la nature du quadrilatère OBCA.

            On peut dire :

            Donc le quadrilatère OBCA est un parallélogramme.

              Mais     OA = OB

             Donc le parallélogramme OBCA est un losange.

             Or il a un angle droit en O.

            Conclusion:

             Le parallélogramme OBCA est un carré. 

      PARTIE B

                Soit z un nombre complexe distinct de  − 1 .

                On considère  le quotient :

             1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'égalité

                   L'équation Z = 0 se traduit par :

                               z - 1 = 0   et   z ≠ − 1

                 c-à-d             z = 1

                Conclusion :  S_C = { 1 }

                 a. Comment peut- on traduire la condition  z ≠ − 1 à l'aide du couple 

                      z ≠ − 1   équivaut à:

                         ( x , y ) ≠ ( −  1  ,  0  )

                b. Etablir que :

                       Soit    z ≠  − 1           c-à-d            ( x , y ) ≠  ( − 1 , 0 )

                        On a :     

                          c-à-d

                                c-à-d

                       Conclusion:

               3. Déterminer et représenter l'ensemble ( Γ ) des points M(z ) du plan

                    tels que   Re( Z ) = 0 .

                   Considérons :

                   On reconnaît l'équation du cercle trigo. de centre O et de rayon 1

                  mais il est privé du point E( − 1 ; 0 ).

                    Conclusion:

              ( Γ ) est le cercle de centre  O et de rayon 1 privé du point E( − 1 , 0 ).

               4. Déterminer et représenter l'ensemble (  Τ ) des points M(z)  du plan

                  tels que    Im( Z ) = 0 .

        On a:           y = 0    avec    ( x , y  ) ≠ (  − 1 , 0 )

         c-à-d                y = 0   et   x  ≠ − 1

          Conclusion : L'ensemble (  T ) est la droite d'équation y = 0

                                privée du point E( − 1 , 0 )

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         EXERCICE 3  ( S'il vous reste du temps )

                     Soit le polynôme P( z ) = z³ + z − 2

                             où z est un nombre complexe

               1. Calculer P( 1 ).

                     On a :

                                       P( 1 ) = 0

                     car la somme des cœfficients est nulle : 1 + 0 + 1 − 2 = 0 

             2. Trouver un polynôme Q( z ) du second degré tel que :

                        P( z ) = ( z − 1 ) Q( z )  pour tout nombre complexe z.

                     Comme P( 1 ) = 0 on peut factoriser P( z ) par z − 1 .

                       Utilisons la division:

                      Conclusion :  Q( z ) = z² + z + 2   

             3. Résoudre l'équation P( z ) = 0 dans l'ensemble des nombres complexes.

              On a                     P( z ) = 0 

            qui s'écrit:              ( z - 1 ) ( z² + z + 2 ) = 0

                c-à-d

                                        z = 1   ou   z² + z + 2 = 0

            Résolvons   pour cela   z² + z + 2 = 0.

                               Δ = b² − 4 ac

                c-à-d      Δ = 1² − 4 × 2 = - 7

                            Δ < 0

             Donc les solutions sont :    

                        ( − b  − i √(|Δ | ) ) / ( 2 a ) =  ( − 1 − i √ 7 ) / 2

                        ( −  b − i √( | Δ | ) ) / ( 2 a ) = ( − 1 + i √7 ) / 2

           Conclusion finale pour P( z ) = 0 :

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