INFO DS n° 2 TS1 18/10/14

                    INFO      DS   n° 2  TS1       18 octobre 2014            2 h  

           EXECICE 1

           On considère la suite récurrente ( un ) définie sur IN par :

                          u0 = − 3

                         un + 1  =  un  + 3 × 4n    pour tout n dans IN

              1. Trouver u1 et u2 .

                   u1 = u0 + 1   = u0 + 3 × 40  = − 3 + 3 = 0   

                  u2 = u1 + 1   = u1 + 3 × 41  = 0 + 3 × 4 =  12

                         Conclusion:     u1 = 0 

                                         u2 = 12

               2. Conjecturer le sens de variation de la suite ( un )  puis prouver

                      par récurrence sur IN cette conjecture.

                  On a vu que   u0 ≤   u1  ≤  u2    

                   On peut conjecturer que la suite (un ) est croissante sur IN.

                  Montrons our cela que  un + 1  − un  ≥ 0     pour tout n dans IN

                   Aucune récurrence n'est nécessaire ici.

                 Soit n dans IN quelconque.

                  Comme                  un + 1  = un + 3 × 4n   

                  on a :                   un + 1  − un = 3  ×  4n

                  Or                               3 × 4n   ≥ 0

                  Donc              un + 1 − un   ≥ 0   pour tout n dans IN

                   Conclusion : La suite ( u ) est bien croissante sur IN

              3. Etablir par récurrence que  un = 4n-− 4  pour tout n dans IN.

                 • n = 0

                               40 − 4 = 1 − 4 = − 3 = u0    

                     L'égalité est vraie pour n = 0

                • Soit n quelconque dans IN.

                    Montrons que si  un = 4n  − 4  alors  un + 1 = 4n + 1 − 4

                    Considérons: 

                            un = 4n  − 4

                   Donc    un + 3 × 4n  =  4n  − 4 + 3 × 4n    

                   c-à-d   

                                         un + 1 =  4 × 4n  − 4    = 4n + 1 − 4

                        c-à-d     

                                  un + 1 = 4n + 1  −  4

                     Conclusion:   L'égalité est prouvée sur IN

        4. Trouver lim un   

                        n  + ∞

            Comme  4 > 1  on a     lim  4n  = + ∞

                                                 n  + ∞

              Donc               lim (  4n − 4 ) = + ∞

                                      n   + ∞

                c-à-d 

             Conclusion :       lim un  = + ∞

                                        n  →  + ∞

      EXERCICE 2

          Le plan est muni d'un repère orthonormal direct 

           1rep  

                                       ( unité graphique 2 cm )

            PARTIE A

         On considère les points A , B , C dont les affixes respectives sont:

             zA  = 1 + i                   zB   = 1 − i                           zC  = 2 

         1. Placer dans le repère orthonormal donné les points  A , B , C .

               1fg

       2. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation

                     z2  − 2 z + 2 = 0

              en donnant les solutions sous la forme algébrique.

           On a :        Δ' = b' 2 − a c    (  Quand b est un multiple de 2 de la forme b = 2 b '

                                                         on a  Δ = 4 Δ' .  La discussion peut se faire sur Δ' . )

                 c-à-d 

                 Δ ' = ( − 1 )2 − 2 = − 1 = i   

                  On a:            Δ ' < 0 

                  Donc les racines sont:  ( La simplification par 2 étant déjà faite )

                 (  − b' − i √| Δ ' | ) / a  = 1 − i

              et 

                   ( − b ' + i √| Δ ' | ) / a = 1 + i

             Conclusion:  SIR = { 1 − i , 1 + i }

        3. a. Mettre sous la forme algébrique puis trigonométrique le quotient suivant:

               1qo

                 1form

              Or   | i | = √ ( 0 2  +  12  ) = 1

               Considérons :        cos θ = 0 / 1 = 0

                                            sin θ = 1 / 1 = 1  

                  θ = π / 2   convient 

                  i  = 1 ( cos( π / 2 ) + i sin( π / 2 ) )

               Conclusion: 

                 1cv

            b. Que peut-on en déduire pour les distances OB et OA ainsi que pour l'angle 

                 1an

                Comme

                     2ang

                  De plus:

                          1dis

                    Donc :

                         Conclusion :     OA = OB

           c. Comparez les affixes des vecteurs 

                    1vc

              Ona:                   zA - zO = z = 1 + i

                et                zC - zB = 2 - ( 1 - i ) = 2 - 1 + i

                   Conclusion: 

                   1clc

     4. Justifier la nature du quadrilatère OBCA.

            On peut dire :

               1egal 

            Donc le quadrilatère OBCA est un parallélogramme.

              Mais     OA = OB

             Donc le parallélogramme OBCA est un losange.

             Or il a un angle droit en O.

            Conclusion:

             Le parallélogramme OBCA est un carré. 

      PARTIE B

                Soit z un nombre complexe distinct de  − 1 .

                On considère  le quotient :

                                   1grz

             1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'égalité

                    1znu    

                   L'équation Z = 0 se traduit par :

                               z - 1 = 0   et   z ≠ − 1

                 c-à-d             z = 1

                Conclusion :  SC = { 1 }

            1ph

                 a. Comment peut- on traduire la condition  z ≠ − 1 à l'aide du couple 

                    1co

                      z ≠ − 1   équivaut à:

                         ( x , y ) ≠ ( −  1  ,  0  )

                b. Etablir que :

                           1for

                       Soit    z ≠  − 1           c-à-d            ( x , y ) ≠  ( − 1 , 0 )

                        On a :     

                             1tr

                          c-à-d

                            2lk 1

                                c-à-d

                            3lm

                       Conclusion:

                                      1for

               3. Déterminer et représenter l'ensemble ( Γ ) des points M(z ) du plan

                    tels que   Re( Z ) = 0 .

                   Considérons :

                          1li

                   On reconnaît l'équation du cercle trigo. de centre O et de rayon 1

                  mais il est privé du point E( − 1 ; 0 ).

                    Conclusion:

              ( Γ ) est le cercle de centre  O et de rayon 1 privé du point E( − 1 , 0 ).

               4. Déterminer et représenter l'ensemble (  Τ ) des points M(z)  du plan

                  tels que    Im( Z ) = 0 .

                 2li

        On a:           y = 0    avec    ( x , y  ) ≠ (  − 1 , 0 )

         c-à-d                y = 0   et   x  ≠ − 1

          Conclusion : L'ensemble (  T ) est la droite d'équation y = 0

                                privée du point E( − 1 , 0 )

                   1fgur

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         EXERCICE 3  ( S'il vous reste du temps )

                     Soit le polynôme P( z ) = z3 + z − 2

                             où z est un nombre complexe

               1. Calculer P( 1 ).

                     On a :

                                       P( 1 ) = 0

                     car la somme des cœfficients est nulle : 1 + 0 + 1 − 2 = 0 

             2. Trouver un polynôme Q( z ) du second degré tel que :

                        P( z ) = ( z − 1 ) Q( z )  pour tout nombre complexe z.

                     Comme P( 1 ) = 0 on peut factoriser P( z ) par z − 1 .

                       Utilisons la division:

       z3               + z    - 2        |     z - 1              
 − ( z3 -  z2  ) |     z2   + z  + 2   
      ------------- |
                z2   + z |
         − (  z -  z ) |
                       2 z     - 2 |
                      - ( 2 z - 2 ) |
                      --------------- |
                                   0 |
   

                      Conclusion :  Q( z ) = z2 + z + 2   

             3. Résoudre l'équation P( z ) = 0 dans l'ensemble des nombres complexes.

              On a                     P( z ) = 0 

            qui s'écrit:              ( z - 1 ) ( z2 + z + 2 ) = 0

                c-à-d

                                        z = 1   ou   z2 + z + 2 = 0

            Résolvons   pour cela   z2 + z + 2 = 0.

                               Δ = b2 − 4 ac

                c-à-d      Δ = 12 − 4 × 2 = - 7

                            Δ < 0

             Donc les solutions sont :    

                        ( − b  − i √(|Δ | ) ) / ( 2 a ) =  ( − 1 − i √ 7 ) / 2

                        ( −  b − i √( | Δ | ) ) / ( 2 a ) = ( − 1 + i √7 ) / 2

           Conclusion finale pour P( z ) = 0 :

                            1so

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