Image pour ex de bac

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             EXERCICE :

                  PARTIE A .

               On considère un cube ABCDEFGH.

                             1cub

              On note M le milieu du segment [ EH], N celui de [FC] et le point P tel que 

               1forme

                        0cube

     1. Les droites ( M P ) et ( FG ) sont sécantes en un point L.

             Construire L

    2. Les droites ( LN ) et ( CG) sont sécantes en un point T.

        Les droites ( LN ) et ( BF) sont sécantes en un point Q.

         a. Placer T et Q.

         b. Construire l'intersection des plans ( MNP ) et ( ABF).

         c. En déduire une construction de la section du cube par le plan (MNP).

           Figures.

                           

                           2cub 2

                            3cub 1

                         4cub 1

                          5cub

                     6cub

                7cub

                  PARTIE B

          1.Donner les coordonnées des points M, N, P dans le repère.

                            8cub 1

          2. Donner les coordonnées du point L.

          3.  On admet que l'on a T ( 1 , 1 , 5 / 8 ).

                Le triangle TNP est-il rectangle en T?

                          10cub

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     Explications:

  1.          

           9cub

       On  sait déjà que xL = 1  et  zL = 1.

        Il reste à trouver yL .

        Le point L est sur la droite ( MP ) .

          On a :

                  3forme

         Une représentation paramétrique de la droite ( MP ) est :

                x = 0,25 + 0,25 t

                y = 1 + 0,5 t

                z = 1                   avec t  réel 

           Imposons:  x = 1 et  z = 1 

            Alors     1 = 0, 25 + 0,25 t c-à-d      0,75 = 0,25 t  c-à-d  t = 3

            En reportant on a   y = 1 + 0,5 × 3 = 2, 5

           Donc:

    Conclusion    L( 1  ; 2 ,5    ; 1 )

          3.            

           On a:  T ( 1 , 1 , 5 / 8 ).

                        P( 0,25 ; 1 ; 1)

                         N( 1 ; 0,5 ; 0,5 )

           Calculons le produit scalaire :

                   5forme

             On a :    

            6forme

           Le produit scalaire est non nul.

         Conclusion : Le triangle NTP  n'est pas rectangle en T.

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