ROC SUR LES SUITES

                              ROC SUR LES SUITES                                               Mai 2013

     1. RESULTAT  de Cours:

                     Soit une suite ( un ) définies sur IN.

                     Si  la suite ( un )   est croissante et  non majorée  sur IN alors elle diverge vers + ∞.

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     EXPLICATIONS:

                   •  La suite est croissante sur IN peut se traduire par:     

                          ( L'ordre des termes correspond à l'ordre des indices )            

                             Pour tout n dans IN et tout p dans IN

                                      si    n ≥ p     alors   un   ≥  up  

                   •  La suite est non majorée sur IN peut se traduire par :

                    ( Pour tout réel positif   aussi grand que l'on veut

                       on peut trouver un terme de la suite qui dépasse  ce réel  )

                                    Pour tout  A > 0  il existe un rang p dans IN   tel que    up  >  A  .        

          On fusionne ces deux informations en les imbriquant:           

                     Pour tout A > 0   il existe un rang p dans IN  tel que  

                    pour tout n dans IN ,        si    n ≥ p     alors   u  ≥  up    >  A  .

             On ne mentionne plus  ensuite  le terme intermédiaire  up  qui ne nous sert plus .

                Pour tout A > 0   il existe un rang p dans IN  tel que  

                    pour tout n dans IN ,        si    n ≥ p     alors   u  >  A  .

              Cette derniere phrase signifie :             

                   ( Pour tout réel positif   aussi grand que l'on veut

                       on peut trouver un rang à partir duquel tous les termes de la suite

                       dépassent  ce réel )

                 C'est la traduction mathématique de :

                                 lim un = + ∞

                                 n →  + ∞

                      Le résultat est avéré

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         2. RESULTAT de Cours:

           Soit ( un ) et ( vn ) deux suites définies sur IN .

           Soit  

                       •     lim un = + ∞

                                 n →  + ∞

                       •          vn  ≥  un       à partir d'un certain rang

               Alors   

                                  lim vn = + ∞

                                 n →  + ∞

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       EXPLICATIONS:

             •       vn  ≥  un    à partir d'un certain rang.

                   Cela se traduit par :

          (      vn  ≥  un  pour tous  les entiers n supérieurs ou égaux à un certain  entier q .)

                      Il existe q dans IN tel que  pour tout n dans IN,

                             si n ≥ q  alors    vn  ≥  un   

           •    lim un = + ∞                   se traduit par :

                 n →  + ∞       

               ( Pour tout réel positif   aussi grand que l'on veut

                  on peut trouver un rang à partir duquel tous les termes de la suite   ( un )

                  dépassent  ce réel )      

                    Pour tout A > 0   il existe un rang p dans IN  tel que  

                    pour tout n dans IN ,        si    n ≥ p     alors   u  >  A  .

        On fusionne les deux informations en remplaçant p et q par le plus grand de p et q  et on le note r.               

                 Pour tout A > 0   il existe un rang r dans IN  tel que  

                    pour tout n dans IN ,        si    n ≥ r     alors  vn   ≥  u  >  A  .

           On ne mentionne plus  ensuite  le terme intermédiaire  u qui ne nous sert plus .         

                    Pour tout A > 0   il existe un rang r dans IN  tel que  

                    pour tout n dans IN ,        si    n ≥ r     alors  vn   >  A  .

                C'est exactement la traduction de :                     

                                  lim vn = + ∞

                                 n →  + ∞

                     Le résultat est avéré.

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