TEST n°1 4 octobre 2016 TS spé maths
EXERCICE 1 de découvertes
Soit les matrices A et B suivantes:
1. Comparer les matrices ( A + B ) 2 et A2 + 2 A× B + B2 .
2. Expliquer pourquoi vous obtenez ce résultat.
A-t-on ( A + I2 ) 2 = A2 + 2 A + I2 ?
3. Soit la matrice C = A − 6 I2 .
Trouver la matrice A× C .
Quel contre exemple cela permet-il ?
4. Soit la matrice D telle que:
a. Calculer D2 .
b. Quelle est l'inverse de D ? Que remarquez-vous ?
5. Soit la matrice E telle que:
On pose J = E − I3 .
Calculer J3 .
6.Le plan est muni d'un repère cartésien:
Soit la fonction polynome:
étant des nombres réels.
Sachant que la courbe de cette fonction passe par les points
F( 1 ; − 13 ) , G( − 1 ; − 15 ) et H( 2 ; − 29 )
déterminer son expression.
7. On pose:
( 1 est la matrice unité I2 )
Soit deux réels a et b.
On pose:
L'ensemble des a 1 + i b c'est-à-dire a + i b
où a et b décrivent IR est l'ensemble des nombres complexes.
a. Trouver i 2 .
b. Trouver 2 + 3 i .
c. Trouver ( 2 + 3 i )2
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EXERCICE 2
Soit les matrices
1. Trouver deux nombres réels a et b tels que A2 = a A − b I3 .
2. En déduire une matrice A ' carrée d'ordre 3 telle que A× A ' = A '× A = I3 .
Que peut-on dire de A' ?
3. On pose B = A − I3
a. Exprimer B.
b. Trouver B2 en fonction de B.
4. Etablir par récurrence sur IN* que :
Bn = 2n − 1 B pour tout entier naturel n non nul.
5. Résoudre dans IR3 le système linéaire:
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