ACTIVITE PRELIMI. LIMITES

ACTIVITES  PRELIMINAIRES           LIMITES            1S                    DEC 08


        Activité 1. 

                 Soit la fonction f : x→ ( x² + 2 x + 1 ) / x

                    définie sur les intervalles  ] - ∞ , 0[  et ] 0 , + ∞ [ .

                  1. Peut-on faire tendre x vers +∞  tout en ayant le x dans D  ?

                 2.  Trouver trois réels a , b , c tels que f( x ) =  a x + b + c / x

                     pour tout x dans D.

               3. Sachant que  

lim ( 1 / x ) = 0
x→+ ∞

   trouver la limite de f( x ) - (x + 2 )  quand x tend vers + ∞ c-à-d

lim (f( x ) - ( x + 2 )
x→+ ∞

                  4. Sur l'écran de la calculatrice tracer la courbe de f  et la droite D:  y = x + 2 ,

                           sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [ .

                   Que remarquez-vous ?

                (  On dit que la droite D : y = x + 2  est une asymptote à la courbe de f en    + ∞ . )

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          Activité .2

                 Soit la fonction  f : x →  3 - 1 / ( x + 1 )       définie sur les intervalles

                  ] - ∞ , - 1 [  et  ] - 1 , + ∞ [ .

               1. Montrer que   I f( x ) - 3 I =<  1 / x  pour tout x strictement positif.

               2. Sachant que  

   

lim ( 1 / x ) = 0
x→ + ∞
          

                             trouver la limite de f( x ) quand x tend vers  + ∞.

               3. Soit la droite D: y = 3  et ( C ) la courbe de f dans un repère oethonormal du plan.

                  Que peut-on dire de D et ( C )  ?

  (  On dit que la droite D : y = 3  est une asymptote horizontale à la courbe de f en    + ∞ . )

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         Activité .3           Soit la fonction f : x  →  1 / ( x + 2 ) définie sur les intervalles

                                           ] - ∞ , - 2 [  et  ] - 2 , + ∞ [ .

     On admet que  :    

lim ( 1 / h) = 0
 h → + ∞
                 On pose:    h = x + 2     avec x > - 2.

                 1. Exprimer f( x ) comme expression en h .

                 2. Trouver

lim f( x ) 
x→ + ∞

              ( On dit que la droite D: y = 0  est une asymptote horizontale à la courbe de f . )

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            Activité 4

                   Soit la fonction  f : x →  1 / √ ( x - 2 )   définie dans l'intervalle

                     ]  2 , + ∞ [ .

     On admet que :   

lim ( 1 / √( h) = + ∞
 h → 0
                     A l'aide  d'un changement de variable montrer que

   

lim f( x )  = + ∞
x→ 2

    ( On dit que la droite D : x =  2  est une asymptote verticale  à la courbe de f à droite. )

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            Activité . 5

             Soit la fonction rationnelle   f : x   →  ( 5 x² + 2 x - 1 ) / ( x² + x + 1 )

             définie qans IR.

             1. Soit x > 0.

              Montrer que : f( x ) = ( 5 + ( 2 / x ) - ( 1 / x² )   ) / (  1 + ( 1 / x ) + ( 1 / x² ) )

             2. On admet que :

lim ( 1 / x) = 0
 x → + ∞

  et

lim ( 1 / x² ) = 0
 x → + ∞

Trouver  alors :

lim (  5 + ( 2 / x) - ( 1 / x² )   ) 
x→ + ∞

           et

lim (   1 + ( 1 / x ) + ( 1 / x² ) ) 
x→ + ∞

   3. En déduire la limite de f( x ) quand x tend vers + ∞.

   4. Trouver le quotient simplifié des termes de f( x ) de plus haut degré.

      Quelle est sa limite quand x tend ver +  ∞ ?

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