INFO DS n° 6 lundi 13 février 2012 TS2
EXERCICE 1
On considère l'équation différentielle : y ' - 2 y = exp(2x) ( E ) .
1. Démontrer que la fonction u définie sur IR par u( x ) = x exp(2x) est une solution de ( E ).
Réponse : Il faut faire une vérification.
La fonction u est définie et dérivabledans IR comme produit de telle fonctions.
On a : u = v × expow
avec v : x → x fonction affine définie et dérivable IR.
w : x → 2x fonction affine définie et dérivable IR.
Ainsi la fonction expow : x → exp(2x) est aussi définie et dérivale dans IR .
Soit x dans IR.
u '( x ) = v '( x ) × expow(x) + v( x ) × w '( x ) expow(x)
Mais v ' : x → 1 et w' : x → 2
Donc u '( x ) = 1 × exp(2x) + x × 2 × exp(2x)
c-à-d
u '( x ) = ( 1 + 2 x ) exp(2x)
Considérons u '( x ) - 2 u( x ) = ( 1 + 2 x ) exp(2x) - 2 x exp(2x)
c-à-d u '( x ) - 2 u( x ) = ( 1 + 2 x - 2 x ) exp(2x) =