INFO DS n° 6 lundi 13 février 2012 TS2

                                            INFO DS n° 6  lundi 13 février 2012  TS2        

            EXERCICE 1

                    On considère l'équation différentielle :    y ' - 2 y = exp(2x)    ( E ) .

           1. Démontrer que  la fonction u définie sur IR par  u( x ) = x exp(2x)    est une solution de ( E ).

               Réponse :     Il faut faire une vérification.

                La fonction u est définie et dérivabledans IR comme produit de telle fonctions.

                On a :  u = v × expow   

                avec          v : x →  x    fonction affine définie et dérivable IR.

                                 w : x →  2x   fonction affine définie et dérivable IR.

                 Ainsi la fonction  expow  : x    exp(2x)     est aussi définie et dérivale dans IR .

              Soit x dans IR.

              u '( x ) = v '( x ) × expow(x)  + v( x ) ×  w '( x ) expow(x)

              Mais       v ' : x → 1     et      w' : x → 2

              Donc   u '( x ) = 1 × exp(2x)  + x × 2  ×  exp(2x)

                c-à-d  

                        u '( x ) =  (  1 + 2 x )  exp(2x)

             Considérons  u '( x ) - 2 u( x ) =  (  1 + 2 x )  exp(2x)   - 2 x  exp(2x)

           c-à-d                 u '( x ) - 2 u( x ) =  (  1 + 2 x - 2 x  ) exp(2x)     exp(2x)

                                  On a bien     u'( x ) - 2  u( x )   exp(2x)

                                                     pour tout x dans IR      

                        Conclusion : u est bien une solution particulière de ( E )       

            2. Résoudre l'équation différentielle : y ' - 2 y = 0  ( E0 )    

                                               Elle est de la forme y '  = a y    avec a = 2

                    Conclusion: La solution générale  est x → C exp(2x)            

                                      avec  C dans IR

                 3. Démontrer qu'une fonction v définie dérivable dans IR est solution de ( E ) 

               ssi v - u est solution de ( E0  ).                          

                               Soit v une fonction définie et dérivable dans IR.

                              v est solution de ( E )

           s'écrit     v '( x )  - v ( x ) = exp( 2x )      pour tout x dans IR

          c-à-d      comme u'( x ) - u(x ) = exp(2x) pour tout x dans IR

          v '( x )  - v ( x ) - ( u'( x ) - u(x ) )  = exp( 2x ) - exp( 2x ) pour tout x dans IR

         c-à-d       v'( x ) - u '( x ) - v(x ) - ( - u( x ) ) = 0       pour tout x dans IR

          c-à-d      ( v - u )' ( x ) - ( v- u )( x ) = 0    pour tout x dans IR

                   c-à-d              v - u est solution de ( E0 )

                     Conclusion : L'équivalence est prouvée.

         4. Déduisons toutes les solutions de ( E ).

              Soit v une fonction définie et dérivable dans IR

              On vient de voir :

              v est solution de ( E ) ssi  v- u est la solution  de ( E0)

             c-à-d

             v est solution de ( E )  ssi  il existe un réel C tel que

              v ( x ) - u( x ) = C × exp( 2 x)    pour tout x dans IR

               c-à-d

               v est solution de ( E ) ssi il existe un réel C tel que

              v( x ) = x exp( 2x ) + C × exp( 2 x )    pour tout x dans IR

                        Conclusion :      La solution générale de ( E ) est

                                  v  : x  →  x exp( 2x ) + C ×exp( 2 x )   où C décrit IR

        5. Déterminons la fonction, solution de ( E ) , qui prend la valeur 1 en 0.

                Soit x dans IR .

                  Considérons     v( x ) =  x exp( 2x )+ C exp( 2 x )  où C est dans IR

                  Imposons:        v( 0 ) = 1

                  Il vient :     1 = 0 exp(0 ) + C  exp(0 )

                   Mais exp( 0 ) =1

                   c-à-d        1 = C

                 En reportant il vient :  v( x ) = x exp( 2 x ) + exp( 2 x )   où x est dans IR

                         Conclusion :   La solution  particulière de ( E ) qui vaut 1 en 0 est la fonction

                             f  : x → ( x + 1 ) exp( 2 x )

           6. Le plan est muni d'un repère orthonormé ( O ;vect( i ) , vect( j ) ).

               Soit la fonction f définie sur IR par f( x ) = ( x + 1 ) exp( 2 x ).

                On note ( C ) la courbe de f dans le repère   ( O; vect( i ) , vect( j ) ).

            a . Etudier les variatons de f pui dresser son tableau de variations.

             b.Tracer ( C ).

           Réponse :

                       La fonction f est définie et dérivable  sur IR

                      Soit x dans IR .

                             f ' ( x ) = exp( 2 x ) +  2  ( x + 1 )  exp( 2 x )

               c-à-d     f '( x ) = ( 3 x + 2 ) exp( 2 x )

                 Ainsi       f ' ( x ) est du signe de    3 x + 2

                          Tableau de variation

x -∞                - 3 / 2             +  ∞
f '( x )          -             0               +
f(x )       ↓         -0,5exp(-3)        ↑

                       b. Courbe de f

                                                              501.jpg