PARTIE B d'un ex de bac S juin 2014

                              PARTIE B d'un ex de bac                                juin 2014      TS

     EXERCICE:   ( BAC ) 

       On considère la fonction f définie et dérivable sur IR par :

                       15fghk 

            On note ( C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé .

     PARTIE B

     1. Soit h la fonction définie et dérivable sur IR par :

                         H( x ) = ( − x  − 1 ) e − x

              démontrer que H est une primitive de sur IR de la fonction  h définie par :

                        h( x ) = x  e − x

     2. On note  D le domaine délimité par la courbe ( C ), la droite T et les

        droites d'équation x = 1 et x = 3.

        Calculer, en unité d'aire l'aire du domaine  D.

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              REPONSE :

                                             Tt14df45 1

           1. Montrons que H est une primitive de h sur IR.

                • La fonction H est définie et dérivable dans IR.

                • Montrons que H '  = h sur IR.

                  Soit x dans IR.

                    H ' ( x ) = −  1 ×  e− x  +  ( − x  − 1 ) × (  − e − x  )

                c-à-d

                                 H ' ( x )   = (  - 1 +  x + 1  ) = x  e − x  

          Conclusion.

             H est bien, sur IR,  une primitive de h .

     2.  Calcul de l'aire du domaine D.

                On constate que  pour tout réel x :

                               47mlk58 2

                 Une primitive de h est H.     

                 Par ailleurs une primitive de la fonction p : x → 2 x + 1 est    P:   x →  x2 + x 

              On a :  f ≤  p   sur l'intervalle [ 1 , 3 ]

            Considérons ainsi la fonction     p − f .

                     p ( x ) - f ( x ) = 2 x + 1 − ( x + 1 + h( x )  )  = x  − h( x )     pour tout réel x

              Une primitive de k =  p − f   est  K d'expression

                       K( x ) = ( 1 / 2 ) x2   − H( x ) = ( 1 / 2 ) x2    −  ( − x − 1 ) e − x  

                    c-à-d 

                          K( x ) =  ( 1 / 2 ) x2    + ( x + 1 ) e − x    

               L'aire cherchée est donc   K( 3 )  − K ( 1 )               en u . a.

   On a :                K( 3 )    − K ( 1 )   = 9 / 2  + 4 e− 3    − (  1 / 2  + 2 e− 1  )

                        c-à-d

                              K( 3 )  − K ( 1 )     =  4  +  4 e− 3  − 2 e−1     

                    Conclusion        L'aire du domaine D est   4  +  4 e− 3   − 2 e − 1     

                                                 en u.a.

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