INTERVALLE DE FLUCTUATION

     INTERVALLE DE FLUCTUATION  par l'exemple         TS1    mai 2013 

    . I.  INTERVALLE DE FLUCTUATION

          1.  On considère une population, par exemple, l'ensemble des français.

             On connaît le nombre de français par le recensement.

         2.  On s'intéresse à un caractère comme " avoir un téléphone portable ".

         3.  Il est parfaitement possible en consultant les achats dans les magasins

              et les abonnements souscrits de savoir exactement le nombre de français

              à avoir  un "téléphone portable."

         4. Les statistiques donnent donc la proportion p exacte de français qui ont

             un "téléphone portable".           p est  donc connu

             Soit   p = 70%.

          5. On peut considérer , au hasard, un échantillon de n citoyens français.  ( n entier non nul )

              Pour cet échantillon, on constate  la proportion   F_n   de personnes

              ayant un "téléphone portable".

         6. La question que l'on se pose est de savoir si cet échantillon est représentatif

            de la population totale.

               Si  F_n   est  dans  l'intervalle de fluctuation asymptotique   

                           avec    n ≥ 30      np ≥ 5     n ( 1 - p)  ≥ 5 

              où 

            on dit que l'échantillon , au seuil de  1 - α  , avec     dans ] 0 ; 1 [ ,

               est  valide.

-----------------------------------------------------------------------------

             . II.     Valeurs  Particulières :

                  •    =  5%        1 - =  95%

                           ^{≈  1,96}                

                  •    =  1%        1 − =  99%

                           ^{≈  2,58}

----------------------------------------------------------------

         . III. Autres valeurs

        1.  On peut, par exemple, souhaiter considérer le seuil de 98%.

             Cela correspond   à       =  2 %        1 − =  98%

         2. Comment pour     dans ] 0 ; 1 [      trouver

                      ^?

             On utilise:     P( Z  ≤  u_α  ) =  1  –  / 2    où   Z est de loi normale N( 0; 1 )              

                                   Puis on utilise la calculatrice à l'envers en introduisant  

                                   de façon qu'elle donne   u_α.

            Explications:  

                   •  Montrons que   P(  –  u_α  ≤   Z  ≤  u_α  ) = 2  P( Z  ≤  u_α  ) – 1           

                      c-à-d                P(  –  u_α  ≤   Z  ≤  u_α  ) =  2  ∏(  u_α )  – 1 

                      sachant que     P(  –  u_α  ≤  Z  ≤  u_α  ) = 1  –      et que la fonction densité de probabilité

                       de la loi normale N ( 0 ,1 ) de  Z  est paire.                

                      Sur IR son intégrale est 1.

                 Ainsi :

            •  On utilise ensuite  soit la table de la loi normale soit la calculatrice.

                 TI 84

                 2ND      VAR 

                 à la ligne 3           inverseNorm(                              Sur les TI 82 c'est  fracNorm(

                 On considère:

                               inverseNorm( 1 -  α / 2 )      

                 Cela donne  une valeur approchée de 

                Exemple:

                           α =  2 %                 1 -  α / 2 = 1 - 0,02 / 2 =  1 - 0,01 = 0,99

                   D'où :                ≈   2,3263

            On peut retrouver facilement les valeurs particulières citées plus haut.      

_____________________________________________________________________

       .IV. Remarque :

         On élargit parfois légèrement l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %

         en considérant   1,96 ≈ 2   et remplaçant √( p ( 1 − p ) )  par 1 / 2.

         On considère alors  comme intervalle:

            [ p − 1 / √n  ,  p +  1 / √n ].

         Pourquoi ce choix:

           •  La fonction p →  p ( 1 − p )  admet sur [ 0 ; 1] un maximum en p = 1 / 2.

              Ce maximum est  1 / 4.

               En effet  sa fonction dérivée    p  →  1 − 2 p     s'annule en  p = 1 / 2 

               en changeant de signe , d'abord positive sur [ 0 ; 1 / 2 ] puis négative

                sur [ 1 / 2 ; 1].

         • Ainsi on a  également  la fonction    p  →   √( p ( 1 -  p ) )

             qui admet un maximum en  p = 1 / 2  .

             Ce maximum est    √( 1 / 4 ) = 1 / 2

           • Donc on se permet de remplacer   √( p ( 1 − p ) )   par   1 / 2

                 Ainsi :                               1,96 √( p ( 1 − p ) )  ≈  2 × ( 1 / 2 )

            c-à-d                                1,96 √( p ( 1 − p ) )  ≈   1                  

          d'où en reportant  l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %

                           [ p − 1 / √n  ,  p +  1 / √n ].

 ------------------------------------------------------------------------------------------------------

   . V. Présentation de la notion d'intervalle de fluctuation.

     On veut savoir si un échantillon de n individus pour lequel on a une fréquence F_n

     d'un caractère binaire ( à deux issues ) , représente bien la population 

     pour laquelle la fréquence p du caractère étudié est connue.

      Si F_n   est dans l'intervalle de fluctuation 

     avec   n ≥ 30     np  ≥ 5     n( 1 − p ) ≥ 5   et     0 < α  < 1 

     on accepte au seuil de 1 − α   l'échantillon.

    Par exemple :  A et B se présentent à une élection auprès d'une population.

                           On s'intéresse au % obtenu par A.

         Le résultat final de l'élection est connu.

         Soit p le % obtenu à l'élection par A.

         On prend dans la liste des votants un échantillon de n électeurs à qui on demande 

         leur vote. Dans cet échantillon on connait le % obtenu par A et on le note F_n .

         Alors on se demande si cet échantilon est représentatif des votants au seuil de  1 − α 

         ou au risque de   α .

          •Si   n ≥ 30     np  ≥ 5     n( 1 − p ) ≥ 5   et     0 < α  < 1 

          et   que   F_n  est  dans l'intervalle de fluctuation 

            alors on répond oui.

           •Dans le cas où ce n'est pas le cas on répond non.

      En fait cela revient à considérer une v.a.r discrète X_n  de loi binomiale B( n , p ).

      Pour chacun des n  individus de l'échantillon, de façon indépendante, on associe 1 si

      c'est un individu " pour A " et 0  sinon.

      La probabilité que l'individu soit pour A étant p.

      X_n indique le nombre d'individus de l'échantillon qui ont voté  pour A.

     Pour l'échantillon la fréquence de " vote pour A " est F_n  =  X_n / n

     Prenons par exemple α = 5 %.

     L'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est :

      I_n   =  [   p – 1,96 √(pq) / √n ,  p + 1,96 √(pq)  / √n ] 

       Si   F_n  est dedans alors  l'échantillon est représentatif au seuil de 95 %.

    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------