INFO DS 6 AVRIL 2010 1 ES

∞                     INFO       DEVOIR SURVEILLE            1ES                   Mardi 6 avril 2010

                  EXERCICE 1.

                           Le plan est muni d'un repère orthonormal.

                          Soit ( C ) la courbe de f.

                          Soit la fonction f : x →  ( x² - 2x ) / ( x² - 4 x + 3 )

         1. Trouver le domaine de définition de f.

          Réponse:

                       Df  = { x dans IR /   x² - 4 x + 3  ≠ 0 }

             Résolvons pour cela l'équation x² - 4 x + 3  = 0 

              x² - 4 x + 3  = 0  admet une racine évidente qui est 1.

             En effet :    1 - 4 + 3 =  0

            L'autre racine est donc le produit des racines à savoir

                           c / a = 3 / 1 = 3

              Les valeurs  1 et 3 sont donc à interdire.

            Conclusion :    Df = IR - { 1 ; 3 }           

         2. Montrer que f ' : x  → 2 ( - x² + 3 x - 3 ) / ( x² - 4 x + 3 )²

          Réponse:

            Soit les fonctions polynômes  u : x→ x² - 2x    et     v : x→ x² - 4 x + 3  .

              u et v sont définies et dérivables dans IR - { 1 ; 3 } .

              v est non nulle dans  IR - { 1 ; 3 } .

                f = u / v

             Donc la fonction f est définie et dérivable dans  IR - { 1 ; 3 } .

               De plus on a : 

                    f ' = ( u / v ) ' =  ( v u ' - u v ' ) / v² 

                On a:            u ' : x →  2 x - 2

                                    v ' :  x →  2 x - 4

               Soit x dans  IR - { 1 ; 3 } .

                  On a :

                  f '(  x ) = [   ( x² - 4 x + 3 ) (  2 x - 2 ) - (  x² - 2x ) (  2 x - 4 )  ] /  ( x² - 4 x + 3 )²

            c-à-d  en factorisant 2

                  f '(  x ) = 2 [ ( x² - 4 x + 3 ) (   x - 1  ) - (  x² - 2x ) (   x - 2 )  ] /  ( x² - 4 x + 3 )² 

       c-à-d    

                  f '(  x ) = 2 [  x- 4 x2 + 3 x -   x + 4 x - 3 - (   x- 2  x - 2  x + 4x ] /  ( x² - 4 x + 3 )² 

         c-à-d

                   f '(  x ) = 2 [    x3      -  4 x2 + 3 x -   x + 4 x - 3 -    x3    4 x2    - 4 x ]  / ( x² - 4 x + 3 )²     

         c-à-d 

                  f '(  x ) = 2 [ -  x + 3 x - 3 )  /  ( x² - 4 x + 3 )²      

              Conclusion :  On a bien    f ' : x  → 2 ( - x² + 3 x - 3 ) / ( x² - 4 x + 3 )²                            

         3. Donner le signe de f '( x ) suivant la valeur de x.

           Réponse:

                 Pour tout x dans  IR - { 1 ; 3 }   f ' ( x ) est du signe de   -  x + 3 x - 3 .

                    On a le discriminant     Δ = b² - 4 a c

            c-à-d        Δ   = 9 - 4 ( - 1 ) ( - 3 )

            c-à-d         Δ       = 9 - 12 = - 3 

              Donc           Δ  < 0

              Ainsi:

                  -  x + 3 x - 3    est toujours du signe de a et non nul.    

                Or     a = - 1

                Donc      a < 0

               D'où :

                   f ' ( x ) < 0 pour tout x dans   IR- { 1 ; 3 }     

                   Conclusion :       f ' < 0   sur  IR - { 1 ; 3 }           

         4. En déduire le sens de variation de la fonction f.

             On dressera son tableau de variation.

                Réponse:

                  Comme   f '  < 0   sur   IR- { 1 ; 3 }    on peut dire:

                  f est décroissante sur les intervalle de IR - { 1 ; 3 }  .

                  Tableau de variation :

x     - ∞                  1                   3                      + ∞
f ' ( x )              -            ||          -       ||             -
f ( x )            ↓              ||        ↓         ||            ↓ 

 

                               

          Remarque:

             Comme f ' < 0  sur IR - { 1 ; 3 }   aucune tangente à la courbe ne pourra

           avoir un coefficient directeur positif.

           Par exemple il ne serait pas possible de trouver une tangente parallèle

          à la droite d'équation   y = 2 x + 3.         

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     EXERCICE 2.

               Le plan est muni d'un repère orthonormal.

               Soit la fonction f : x  →  ( x² - 1 )² / x3  définie dans IR* ,

               de courbe représentative ( C ).

               Soit la droite D: y = x.

             1.  Déterminer les points communs éventuels de D et ( C ).

                Il suffit de résoudre dans IR*  l'équation :

                   ( x² - 1 )² / x3   = x                   (  1 )

                Soit x un réel non nul .

               ( 1 )  s'écrit    :            ( x² - 1 )²  =  x4   

                       c-à-d       ( x² - 1 )²   - ( x²  ) ² = 0

                 c-à-d       ( x² - 1 - x²  ) (  x² - 1 + x² ) = 0

                 c-à-d       - ( 2 x² - 1 ) = 0

                  c-à-d        2 x² - 1 = 0

                   c-à- d      x² = 1 / 2

                   c-à-d       x =  1 / √  2      ou         x = - 1 /  √ 2

                Conclusion:   Les deux points sont A (  1 / √  2  ;  1 / √  2  ) 

                                        et  B (  -  1 / √  2   ;  -  1 / √  2  )

                         

             2. Trouver f ' ( x )  pour x dans IR*.

              Réponse:

                  f : x →  ( x² - 1 )² / x3 

                     c-à-d   

                  f : x →   ( x4    - 2 x2   + 1 ) / x3 

                  c-à-d

                    f : x →   x -  (  2 / x ) + (  1 /  x3   )

             Donc f est la somme de trois fonctions définies et dérivables dans IR*.

               On  a :

                   f ' x  →  1 - ( - 2 / x² ) + ( - 3 / x )

               Conclusion:       f '  : x → 1 +   2 / x²    - 3 / x4       

             3. Donner le signe de f '( x ) suivant x.

                 En déduire le sens de variation de f.

                  Réponse:

                 Soit x dans IR*.

                 On a :

                f ' ( x ) =  ( x4    + 2  x2   - 3 ) /  x4   

               f '  ( x ) est du signe de  x4    + 2  x2    - 3  pour tout x dans IR*.

                              c-à-d     ( x² )² + 2 x² - 3

                  Considérons   X² + 2 X - 3       en posant  X = x² .

                   Donnons d'aboerd le signe de   X² + 2 X - 3  .

                     1 est une racine évidente.

                     L'autre racine est donc  c / a = - 3 / 1 = - 3    

                       Comme X = x²  le tableau de signe est:              

X  0                          1                      +  ∞ 
X² +  2 X - 3  - 3                -       0         +

                       • X  > 1  se traduit par  x² > 1    c-à-d     x < - 1 ou  x > 1 

                                  Dans ce cas   ( x² )² + 2 x² - 3 > 0

                                            c-à-d    f ' ( x )> 0

                       •    0  ≤ X  ≤  1      se traduit par    0 ≤ x² ≤  1    c-à-d   -1  ≤    x   ≤    1

                                            Dans ce cas   ( x² )² + 2 x² - 3  ≤   0

                                    Donc         f ' ( x )    ≤   0  quand      x dans [ - 1 , 1 ] - { 0 }

          Conclusion:                    f ' > 0      sur   ] -   ∞   ,  - 1 [  U  ] 1 , +  ∞ 

 

                                                        f '    ≤  0    sur   [ - 1 , 1 ]  - { 0 } 

                              Ainsi :         

                                                   

            Conclusion:     f est croissante sur   ] -   ∞   ,  - 1 ] U  [ 1 , +  ∞ 

                                f est décroissante sur   [  - 1    1  ]   - { 0 }