COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE 1S

COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUES            1S            DEC  -  J ANVIER     08-09

 CETTE LECON COMPORTE UNE MULTITUDE DE PETITES INFORMATIONS ET DE CAS.

  ELLE DEMANDE UNE DUREE IMPORTANTE POUR ËTRE ASSIMILEE COMPLETEMENT.

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       1. Notation-Définition.         Quand un fonction f est définie sur un intervalle dont une extrémité est + ∞  

                                                   et que   f( x ) tend   vers  + ∞   lorsque x tend vers + ∞  , on écrit: 

 lim   f(x)   =  + ∞
x → + ∞

        ou

 lim   f   =  + ∞
+∞
 

               ON DIT QUE l'on peut rendre f( x ) AUSSI GRAND  qu'on LE veut à condition de prendre x ASSEZ GRAND.

                C'est le cas des fonctions suivantes de référence:   

                x →  x2      :       x →  x3       ;      x →  x        avec n entier naturel non nul

               x → √x       ;      x → I  x I    . 

                On peut le résumer avec un tableau:   

  

Fonction   f Intervalle considéré Limite de f( x ) quand x tend vers  + ∞
x →  x²     ] - ∞ , +∞ [                     +∞
x → x3        ] - ∞ , +∞ [                     +∞
x →  xn    n entier naturel non nul    ] - ∞ , +∞ [                     +∞
x →  √x     [ 0 , +∞ [                     +∞
 

     2. Notation-Définition.         Quand un fonction f est définie sur un intervalle dont une extrémité est +∞  

                                                     et que   f( x ) tend   vers  - ∞  lorsque x tend vers + ∞  , on écrit: 

 lim   f(x)   =  -  ∞
x → +∞

         ou

 lim   f   =  - ∞
+∞

               ON DIT  QUE  l'on peut rendre f( x )  AUSSI PETIT   qu'on LE veut à condition de prendre x ASSEZ GRAND .

                C'est le cas des fonctions suivantes de référence:   

                x → - x2      :       x → -  x3       ;      x → -  x        avec n entier naturel non nul

               x → - √x       .    On peut le résumer dans un tableau:

 

Fonction   f Intervalle considéré Limite de f( x ) quand x tend vers  + ∞
x →  - x²     ] - ∞ , +∞ [                     - ∞
x → - x3        ] - ∞ , +∞ [                     - ∞
x →  -  xn    n entier naturel non nul    ] - ∞ , +∞ [                     - ∞
x →  - √x     [ 0 , +∞ [                     - ∞

       3. Notation-Définition.         Quand un fonction f est définie sur un intervalle dont une extrémité est - ∞  

                                                 et que   f( x ) tend   vers  + ∞  lorsque x tend vers   - ∞  , on écrit: 

 lim   f(x)   =  + ∞
x → - ∞

      ou

 lim   f   =  + ∞
- ∞

               ON DIT que l'on peut rendre f( x ) AUSSI GRAND qu'on LE veut à condition de prendre

               x assez pettit.

                C'est le cas des fonctions suivantes de référence:   

                x →  x2      :       x →  x4       ;      x →  x2 n         avec n entier naturel non nul

               x → I x I           

         ATTENTION  : 

 il existe des fonctions  comme cos et sin définies sur IR et qui n'ont pas de limite

                        quand  x tend vers + ∞  ou quand x tend vers -  ∞ 

      4 .Notation-Définition.     

    Quand un fonction f est définie sur un intervalle dont une extrémité est + ∞  

          et que   f( x ) tend   vers  un réel  L   lorsque x tend vers + ∞  on écrit:   

 

 lim   f(x)   =  L
x → +∞

         ou

 

 lim   f  =  L
+∞

       On dit que l'on peut rendre f( x ) aussi proche du réel  L que l'on veut

          à condition de prendre x assez grand.

 

                 C'est le cas des fonctions suivantes de référence:   

 

Fonction f Intervalle considéré Limite quand x tend vers  + ∞
x →1 / x     ] 0 , +∞ [                     0
x → 1 / x²      ] 0 , +∞ [                     0
x → 1 / xn    n entier naturel non nul   ] 0 , +∞ [                    0
x → 1 / √x     ] 0 , +∞ [                     0

                     L   n'est pas toujours  nul.

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   5. EX.                  Soit la fonction   f : x →  2 + ( 1 / x )

                              Donner sa limite en +∞ .

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  REP.            f  est en particulier définie sur l'intervalle  ] 0 , +∞ [ dont une extrémité est   +∞ .

                     On peut donc faire la recherche.

                     On a :   

 lim   1 /x =     0
x → + ∞

 Donc   :

 lim   ( 2 +  (1 / x )  ) =  2 + 0   =     2
x → + ∞

Conclusion : 

 lim   f(x)   =  2
x → + ∞

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  6. EX.                  Soit la fonction   g : x → (  2 x + 1 ) / x

                              Donner sa limite en +∞ .


 REP.      On peut se ramener à la fonction f de l'exemple précédent.   (  g = f   sur ] 0 , +∞ [   )

                Ainsi :  

   Conclusion:

 lim   g(x)   =  2
x → + ∞

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     7. EX.                  Soit la fonction   h : x → √x   + (  2 x + 1 ) / x

                                Donner sa limite en +∞ .

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 REP.         On se place sur l'intervalle  ] 0 , +∞ [  où h est définie.

                  +∞  est bien une extrémité de cet intervalle.

                 On peut faire la recherche.

                  Soit x > 0.

                   On a ;    h( x ) = √x   +   2    + (  1  / x  )

                 Comme  :

 lim   ( 2 +  (1 / x )  ) =    2
x → + ∞

et

 lim   √x  =    + ∞
x → + ∞

On en déduit  : 

 lim   ( √x  +  2 +  (1 / x )  ) =    2 + ( + ∞ ) = +∞
x → + ∞
 

Conclusion:  

 lim   h( x )  =    + ∞
x → + ∞

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   8. PROP.             Soit L un réel.

                             Soit f une fonction  définie sur un un intervalle dont une extrémité est  + ∞.

                            Les affirmations suivantes sont équivalentes::

 lim   f( x )  =   L
x → + ∞

 lim   ( f( x ) - L )  =   0
x → + ∞

        9. Notation-Définition.        

             Quand un fonction f est définie sur un intervalle dont une extrémité est - ∞  

               et que   f( x ) tend   vers  un réel  L   lorsque x tend vers - ∞  on écrit:   

 lim   f(x)   =  L
x → - ∞

         ou

 lim   f   =  L
- ∞

      ON DIT  que l'on peut rendre f( x ) aussi proche du réel  L qu'on LE  veut à condition

        de prendre x ASSEZ PETIT. 

                 C'est le cas des fonctions suivantes de référence:   

 

Fonction f Intervalle considéré Limite quand x tend vers  - ∞
x →1 / x     ] -∞ , 0 [                     0
x → 1 / x²       ] -∞ , 0 [                     0
x → 1 / xn    n entier naturel non nul   ] -∞ , 0 [                    0
x → 1 / ¦ x ¦     ] -∞ , 0 [                     0

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