INFO DV n°4 TS1 13nov 2012

         INFO    DV n° 4 TS pour le mardi 13 novembre 2012

          EXERCICE 1 

          Le plan est muni d'un repère orthonormal direct.

          Soit les points A( 0,5 + i 0,5 ) , B( 2 i ) , M( z )  avec z un nombre complexe 

          quelconque distinct de 0,5 + i 0, 5.

          Soit

      1. Déterminer et construire l'ensemble ( Ε ) des points M( z ) du plan tels que Z soit

           un nombre réel.

          Réponse:

          Deux méthodes:

          • Méthode par le calcul :

             On donne la forme algébrique de Z.

                     Re( Z ) = ( 2 x² + 2 y² - x - 5 y + 2 ) / ( ( 2 x - 1)² + ( 2 y - 1 )² )

                     Im( Z ) =  ( - y - 3 x + 2 ) /  ( ( 2 x - 1)² + ( 2 y - 1 )² )

                                       avec  ( x , y ) ≠ ( 0,5  ; 0,5 )  

              On impose:                Im(Z ) = 0.

             c-à-d 

                                               - y - 3 x + 2 = 0    avec  ( x , y ) ≠ ( 0,5  ; 0,5 ) 

             On obtient :                y = - 3 x + 2   avec  ( x , y ) ≠ ( 0,5  ; 0,5 )

               Conclusion:  ( E ) st la droite ( AB) d'équation y = - 3 x + 2  privée du point 

                                       A(  0,5  + 0,5 i )

       • Méthode géométrique : 

              On considère :                  Z est un réel

         c-à-d

                          ( z - z_B ) / [ 2( z - z_A )]   est un réel

           c-à-d   

                        ( z - z_B ) / ( z - z_A )   est un réel

           c-à-d

               il existe un réel λ tel que:      ( z - z_B ) / ( z - z_A ) = λ    

              c-à-d

                    il existe un réel λ tel que:  z - z_B = λ ( z - z_A )  avec  z ≠  z_A

              c-à-d

              il existe un réel λ tel que:  vect( BM) =  λ vect( AM )    et le vect(AM) non nul.

              c-à-d

                 Les vecteurs vect(BM) et vect( AM ) sont colinéaires et le vect(AM) est non nul.

              c-à-d  

                              M est sur la droite ( AB ) avec  M ≠ A .

              Conclusion: 

                  ( E ) est la droite ( AB), d'équation y =- 3 x + 2 ,  privée du point A( 0,5 + 0,5 i ).

    2. Déterminer et construire l'ensemble ( Γ ) des points M( z ) du plan tels que Z soit

           un imaginaire pur.

          Réponse:

           •  Méthode par le calcul

                                          ( Γ ) est le cercle de diamètre [AB] privé du point A.

           •  Méthode géométrique:

                       Z est un imaginaire pur  ssi Z = 0 ou (  Z ≠ 0  et  arg(Z) = π / 2   ( π )   )

        c-à-d        Z est un imaginaire pur  ssi Z = 0  ou (  Z ≠ 0  et  arg( ( z - z_B ) / ( z - z_A ) ) = π/ 2   ( π )  )

        c-à-d        Z est un imaginaire pur  ssi   M = B   ou (  M ≠ B  et M ≠ A et ( vect( AM) , vect( BM) ) = π/ 2   ( π )  )

         c-à-d        Z est un imaginaire pur  ssi   M = B   ou (  M ≠ B  et M ≠ A et ( vect( MA) , vect( MB) ) = π / 2   ( π )  )

        c-à-d        Z est un imaginaire pur  ssi   M = B   ou (  M ≠ B  et M ≠ A et ( vect( MA) , vect( MB) ) = ±  π / 2   ( 2 π )  )

        c-à-d        Z est un imaginaire pur  ssi   M = B   ou (  M ≠ B  et M ≠ A et le triangle ABM est rectangle en M  )  

                Conclusion :     ( Γ ) est le cercle de diamètre [AB] privé du point A.

      3. Déterminer et construire l'ensemble des points M( z ) du plan tels que: 

             Réponse:       

                           Cela revient à dire :     arg( Z ) = -   π / 2     ( 2  π  )  

                                     c-à-d :

                          M = B   ou (  M ≠ B  et M ≠ A et ( vect( MA) , vect( MB) ) = -  π / 2   ( 2 π )  

               •   Méthode par le calcul:

                      L'ensemble cherché est l'arc d'extrémites A et B , non comprises, situé

                      sur le cercle de diamètre [AB] au dessus de la droite ( AB).  

          •   Méthode géométrique :

                 Soit  Z  un nombre complexe non nul afin de pouvoir considérer  arg( Z ).

                  Ainsi  z ≠ z_B  et  z ≠ z_A  . Ce qui se traduit par M ≠ B et M ≠ A.

                 Alors

 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

        EXERCICE 2

         Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation

       Réponse:

                   Attention : Diviser par y c'est supposer y non nul.  

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

       EXERCICE 3 

         Soit les points A( i ) et B( 2 - i ) du plan muni d'un repère orthonormal

          direct.

         À tout point M d'affixe z , distincte de i , on associe le point M' d'affixe Z tel que:

     1. Déterminer et construire l'ensemble des points M du plan tels que M'

          décrive l'axe des abscisses.

            Réponse:

            M ' décrit l'axe des abscisses ssi     Im( Z ) = 0   c-à-d  Z est un réel.

            Deux méthodes possibles:

            • La méthode géométrique avec la traduction de Z est dans IR 

              comme dans le premier exercice. 

                 Z est dans IR s'écrit :

                            Il existe un réel λ tel que Z = λ

           c-à-d         ( comme   Z =  ( z - z_B ) / ( z - z_A )    )

                            Il existe un réel λ tel que     ( z - z_B ) / ( z - z_A )  = λ

           c-à-d  

                   Il existe un réel λ tel que     ( z - z_B ) = λ ( z - z_A )   avec z ≠  z_A

          c-à-d 

                  Les vecteurs vect( BM) et vect(AM) sont colinéaires et M ≠ A

      Conclusion :   L'ensemble cherché est la droite ( AB)  privée du point A( i ).

        • Autre méthode par le calcul:

             On met Z sous la forme algébrique et on impose Im( Z ) = 0.

            Soit  z  ≠  i

          On a :     Z = ( z - 2 + i ) / ( z - i )   

          c-à-d   

                     Z  = [ ( z - 2 - i ) (  + i ) ]  /  | z - i |² 

        c-à-d

                   Z  = [  z - ( 2 - i )   + i z - ( 2 - i ) i  ]  /  | z - i |²    

     c-à-d 

                 Z  = [ |  z |²   -  2  + i  + i z -  2 i - 1   ]  /  | z - i |²  

       En posant    z =x + i y   avec    ( x , y )  ≠ ( 0 ; 1 ) il vient :

                Z = [    x² + y²  - 2 ( x - i y ) + i ( x - i y ) + i ( x + i y ) - 2 i - 1 ] / | x + i y - i |²

       c-à-d 

             Z =  [  x² + y²  - 2 x + y - y - 1 + i ( 2 y + x + x - 2 ) ] /  | x + i ( y - 1) |²

       c-à-d 

             Z = ( x² + y² - 2 x- 1 ) / ( x² + ( y - 1 )² )  + i ( 2 x + 2 y - 2 ) / ( x² + ( y - 1 )² )

             avec  ( x , y ) ≠ ( 0 ; 1 )

              On impose:   2 x + 2 y - 2 = 0    et   ( x , y ) ≠ ( 0 ; 1 )

                c-à-d        x + y - 1 = 0  et  ( x , y ) ≠ ( 0 ; 1 ) 

    Conclusion :   L'ensemble cherché est la droite ( AB) , d'équation y = - x +1 , privée du point A( i ).                                  

     2. Déterminer et construire l'ensemble des points M du plan tels que M '

         décrive la cercle de diamètre [AB].

        Réponse:

               Le cercle de diamètre [ AB ] est de centre  Ω

                d'affixe   z_Ω  = ( z_A + z_B ) / 2 =(  i + 2 - i ) / 2 = 1

               AB = |  z_B - z_A | = | 2 - i - i  | =| 2 - 2 i | = √( 4 + 4 ) = √8 = 2 √2

               Le rayon du cercle de diamètre [ AB ] est √2.

             Imposons :    ΩM' = √2  

                c-à-d      | Z - 1 | = √2

             On a  pour z ≠  i

                        Z - 1 =  ( z - 2 + i ) / ( z - i )   - 1 = ( z - 2 + i - z + i ) / ( z - i )

               c-à-d  

                          Z - 1 = ( - 2 + 2 i ) / ( z - i )

            Donc | Z - 1 | = | - 2 + 2 i | / | z - z_A | = 2√2 /  | z - z_A |

             Ainsi    ΩM' = √2   se traduit par    2√2 / AM =  √2

                c-à-d      2 = AM            

            Conclusion :

                   L'ensemble cherché est le cercle de centre A( i ) et de rayon 2 . 

---------------------------------------------------------------------------------------------------