INFO EX PROBA 1S

                      INFO  EXERCICE DE LA FIN DE LA LECON SUR LES PROBA.           1S      MAI 2010

                EXERCICE.

                       

                     Le jeu consiste à faire tourner les deux roues ci-dessus.

                     La roue A donne le chiffre des dizaines.

                     La roue B donne le chiffre des unités.

                     On obtient ainsi un nombre N.

                     Suivant la valeur de N , le joueur reçoit 0 € , 5 € , 10 € selon les modalités:

                      Si N est n'est pas supérieur ou égal à 71 alors le joueur reçoit 0 €.

                     Si  N est est supérieur ou égal à 91 alors le joueur reçoit 10 €.

                      Dans les autres cas le joueur reçoit 5 €.

                     On note X la v.a.r. qui à chaque nombre N associe associe le gain du joueur.

                        1. Faire un arbre partiel.

                             Arbre                    

                       Donner les valeurs prises par X.

                            ¤  Si N est dans l'un des 6 ensembles suivants le gain est de 0 euros:

  { 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 }  ;    { 21 ; 22 ; 23 ; 24 ; 25 ; 26 }    ;   { 31 ; 32 ; 33 ; 34 ; 35 ; 36 }

  { 41 ; 42 ; 43 ; 44 ; 45 ; 46 }  ;    { 51 ; 52 ; 53 ; 54 ; 55 ; 56 }    ;    { 61 ; 62 ; 63 ; 64 ; 65 ; 66 }

                           ¤  Si N est dans l'un des 2 ensembles suivants le gain est de 5 euros:

                      { 71 ; 72 ; 73 ; 74 ; 75 ; 76 }  ;   { 81 ; 82 ; 83 ; 84 ; 85 ; 86 }

                            ¤  Si N est dans l'ensemble suivant le gain est de 10 euros:

                                   { 91 ; 92 ; 93 ; 94 ; 95 ; 96 }

                                  Les gains sont donc de 0 euros ou 5 euros  ou 10 euros.

                                  Les valeurs prises par X sont donc :

                                         Conclusion:    0 €  ;  5 €    ; 10 €

                        2. Donner la loi de probabilité de X.

                             C'est le tableau  suivant                           

   x 0 5 10
P( X = x ) 6 / 9 2 / 9 1/ 9    1

                         En effet:

              L'univers des possibles Ω  est l'ensemble de 54 nombres situés dans le six ensembles

             cités plus haut.

            A priori les roues sont équilibrées . On est donc dans une situation d'équiprobabilité

                ( c-à-d  de loi équirépartie ) . Tous les 54 nombres N possibles on la même

              probabilité qui est   1 / 54.

              On a alors :              P( X = 0 ) = Card ( X = 0 ) / Card(  Ω )

                                              P( X = 5 ) = Card ( X = 5 ) / Card(  Ω )

                                               P( X = 10 ) = Card ( X = 10 ) / Card(  Ω )

              Il nous suffit de calculer  Card ( X = 0 ) ,   Card ( X = 5 )  ,  Card ( X = 10 ).

                          Card ( X = 0 ) = 36      car  il y a  6 × 6  nombres dans les 6 premiers ensembles.

                           Card ( X = 5 ) = 12     car  il y a  2 × 6  nombres dans les 2 ensembles suivants.

                          Card ( X = 10 ) = 6     car  il y a  6  nombres dans le dernier ensemble.

           Ainsi:      P( X = 0 ) = 36 / 54 = 6 / 9

                          P( X = 5 ) = 12 / 54 = 2 / 9

                         P( X = 10 ) = 6 / 54 =  1 / 9

                      3. Donner l'espérance de X.

                            On a :   E( X ) = 0 × ( 6 / 9)  + 5 × (  2 / 9 ) + 10  × ( 1 / 9) = 20 / 9 

                           Conclusion :  :   E( X ) = 20 / 9

                        4. Donner la variance de X et l'écart type de X.

                            On a :

                              E( X² ) = 0²  ×  ( 6 / 9) +  5² × (  2 / 9 ) + 10²  × ( 1 / 9) = 150 / 9

                              Or :                  V( X ) = E(  X² ) -  (   E( X ) )²

                            Donc V( X ) = 150 / 9 - ( 20 / 9 )² = (1350  - 400 )/ 81   =  950 / 81

                               Conclusion :  V( X ) = 950 / 81

                              Ainsi l'écart type est :

                                        √ ( V( X )

                                 Conclusion :   L'écart type est environ 3,42  

                                5. Quel devrait être la mise du joueur au début pour que le jeu soit équitable?

                                       Le joueur devrait payer l'espoir de gain soit 20 / 9 euros .

                                         Conclusion : La mise devrait être de 2,2  €  environ

                                                            L'espoir de gain serait alors nul.

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