EX4 bac ES 2015

              INFO  BAC ES       JUIN 2015

          EXERCICE 4:

                   On considère la fonction f définie sur  ] 0,+ ∞ [ par :

                                            f( x ) = 3 x − 3 x ln( x )

              On note ( C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé et T la tangente à ( C ) au point d'abscisse 1.

              Quelle est la position relative de ( C ) par rapport à T ?

             Réponse :

            100loi

           En utilisant la calcuatrice la réponse est évidente ( C ) est en dessous de T au sens large  sur  ] 0,+ ∞ [.

            Etablissons le.

           • Déjà recherchons une équation de T.

                  f est définie et dérivable dans  ] 0,+ ∞ [ comme somme et produit de telles fonctions.

             Soit  x > 0 .

             On a :

                  f '( x ) = 3 − 3 (  1 ln( x ) + x × 1 / x ) = 3 − 3 ln( x )  − 3 =  − 3 ln( x )

               Donc    f '( 1 ) =  − 3 ln( 1 ) = 0

              T est donc une droite horizontale.

               Elle passe par le point   de coordonnée ( 1 ; f ( 1 ) )

                  Or    f ( 1 ) =  3  − 3 ln( 1 ) = 3

               Ainsi :  T a pour équation  y = 3

            • Donnons le signe de 3  − f ( x ).

               Soit x > 0

                  On a :    3  − f ( x ) =  3  − ( 3 x − 3 x ln( x ) ) = 3 ( 1  − x  + x ln( x ) )

                Posons:  g( x ) = 1  − x  +  x ln( x )

                 3  − f ( x ) est du signe de g( x ).

               g est une fonction définie et dérivable sur  ] 0,+ ∞ [.

               g ' ( x ) = − 1 − ln( x ) +  x × 1 / x =  − ln( x)

               Le signe de ln( x ) est connu.

                 g ' ( x ) < 0    quand   x > 1

                 g '( x ) > 0  quand    0 < x < 1

                 g '( x ) = 0  quand x  = 1

                    91loi 

              g admet donc un minimum en x = 1. Ce minimum est g( 1 ) = 1  − 1  +   ln( 1 ) = 0

               g > 0 sur  ] 0, 1 [ U ] 1, + ∞ [.

            Ainsi :      3  − f ( x )   = 0   ssi  x = 1

                             3  − f ( x )  > 0 quand  x est dans  ] 0, 1 [ U ] 1, + ∞ [.

            Conclusion:

                     ( C ) est en dessous de T strictement sur   ] 0, 1 [ U ] 1, + ∞ [.

                    ( C ) et  ont le point de coordonnées ( 1 ; 3 ) en commun.

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