Exercice sur les sinus et cosinus

                                Exercice sur les fonction sinus et cosinus     nov-déc.    2014     TS1

      EXERCICE 

                          Soit la fonction

                                  14gfp89  

                        Etudier ses variations dans un domaine le plus réduit possible.

                               147dfg 1

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        REPONSE:

                f est définie et dérivable dans IR.

             •  La fonction sinus  est périodique de période 2 π.

                La  fonction x → cos( 2  x ) est périodique de période   2 π /  2  =   π

               La fonction somme f est périodique de période le plus petit multiple commun de  π  et  2 π 

                 donc  2 π.

               On peut réduire l'étude à un intervalle de longueur  2 π comme

                [ 0 ,  2 π ]  ou mieux encore  [ −   π ,   π ].

             • Parité.

                     Comme f est la somme d'une fonction impaire et d'une

                     fonction paire elle est quelconque.

                     Il est donc inutile de s'attardé sur  ce point.

            • Etude de f sur D =  [  −  π ,   π ].

                      f est définie et dérivable sur D comme somme de telles fonctions.

                     On a :

                         f '  : x → cos( x ) −   ( 1 / 4 ) (  − 2 sin( 2 x ) )

                  Soit x dans D.

                             On a :               f ' ( x ) = cos( x )  +   ( 1 / 2 )  sin( 2 x ) )

                  c-à-d               sachant  sin( 2 x ) = 2 sin( x ) cos( x )

                                         f ' ( x ) =  cos( x ) +   ( 1 / 2 ) (  2 sin ( x ) cos( x  ) )

              c-à-d    

                                 f ' ( x ) =  cos( x ) +  sin ( x ) cos( x  )  =   cos( x ) ×  (  1 + sin(  x ) )

                   Il apparaît que :

                                 f '( x ) = 0   ssi    cos( x ) = 0     ou      sin( x ) =  − 1  

                   Ainsi   sur l'intervalle d'étude D = [  −  π ,   π ] :

                                      f '( x ) = 0 ssi        x = − π / 2  ou x =  π / 2  

       Tableau de signes

                             14ytnb 2

              Donc :

     Conclusion:

            f est strictement croissante sur l'intervalle [ − π / 2  ,  π / 2   ]

          f est strictement décroissante sur les intervalles  

                [  − π   , − π / 2 ]   et   [   π / 2   ,   π ]

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