INFO EX 4 BAC S 2013

              INFO EXERCICE 4               BAC S 2013

         EXERCICE 4

              Soit la suite numérique

                      suiun-2.png  

                      définie sur IN par:

                           suirecu.png

        1.a. Calculer     

                        premter.png

                On pourra en donner une valeur approché à 10-2  près. 

                     On a:             u1 = 7 / 3       c-à-d        u1 ≈ 2,33

                                          u2 = 26 / 9      c-à-d        u2 ≈ 2,88

                                                                              u3 ≈  3,59

                                                                               u4 ≈ 4,39

            b. Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.

                    Elle semble croissante sur IN.

         2. a . Démontrer que pour tout entier naturel n

                               un  ≤  n + 3   

                    Faisons une récurrence sur IN.

                        • n = 0

                          On a :        u0  ≤  0 + 3      car    2  ≤   3   

                      •  Soit n dans IN quelconque.

                        Montrons que si    un  ≤  n + 3      alors   un + 1  ≤  n+ 1  + 3   

                      Considérons :

                         recurr-1.png 

              

                                 Conclusion: Le résultat est avéré.

               b.  Démontrer que  pour tout entier naturel n ,  

                        inegal.png

                   On a :

                 ex4bcs2013-1.png

             c.  En déduire une validation de la conjecture précédente.

                           On sait  que:

                                                       inega.png

                    Donc:  

                                                ineg.png

                                       pour tout entier naturel n.

                           Conclusion : La suite 

                                            suiun-2.png

                           est bien croissante sur IN

  3. On désigne par  

         suivn.png

       la suite définie sur IN par:

                suitevn-1.png         

            a. Montrer que la suite 

                      suivn.png

                           est une suite géométrique de raison  2 / 3   

                        On a :  

                                  sugeo.png

                                             pour tout entier naturel n.

            Conclusion:   Le résultat est avéré.

        b. En déduire que pour tout entier naturel n,

                                                   formulesu.png

              On a :

                           termsu.png

                                     pour tout n dans IN.

              Conclusion : La formule est prouvée.

        c. Déterminer la limite de la suite

               suiun-2.png

             Comme  0 < 2 / 3 < 1   on a :

                 limsu-2.png

               Conclusion:     La suite 

                                        suiun-2.png

                diverge vers + ∞.

    4. Pour tout entier naturel non nul , on pose:

                        sommesu.png

              a. Exprimer Sn  en fonction de n.

                    sn-2.png

                                        On obtenu la somme demandée

       b. Déterminer la limite de la suite

              suitn.png.

     fromm.png

                    Conclusion:

                                          limtn.png

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