INFO EX3 DS4 1S 20 Déc 08

INFO EX 3             DS n° 4       1S1       20 Déc. 2008 


          EX.3                 Soit la fonction h : x → ( x² +  x + 1 ) / ( x + 1 )

                                définie dans    ] - ∞ , - 1 [ U ] - 1, + ∞ [ .

                        1. Donnons les coordonnées du point a d'intersection de la courbe ( C )

                          de h avec l'axe des abscisses.

                            Soit  x dans   ] - ∞ , - 1 [ U ] - 1, + ∞ [ .

                            On a :   h( x )  = ( x + 2 )²  / ( x + 1 )

                           Donc h( x ) = 0  ssi  x + 2 = 0

                           c-à-d      h( x ) = 0 ssi x = - 2

                        Conclusion :    On a le point A( - 2 ; 0 ) .

                       2. Trouvons trois réels a , b , c tels que :

                                        h( x ) = a x + b +  c / ( x + 1 ) 

                              pour toutx dans     ] - ∞ , - 1 [ U ] - 1, + ∞ [ .

     Par division on obtient pour tout x dans   ] - ∞ , - 1 [ U ] - 1, + ∞ [  :

x² + 4 x + 4 | x + 1

- ( x² + x )

     3 x + 4

  - ( 3 x + 3)

               1 

|  x + 3

|

|

                     Ainsi :      x² + 4 x +4 = ( x + 1 ) ( x + 3 ) + 1

           Donc pour tout x dans   ] - ∞ , - 1 [ U ] - 1, + ∞ [

                    (x² + 4 x +4 ) / ( x + 1 ) = x + 3 +  1 / ( x + 1 )

                Conclusion :    On a  h( x ) =   x + 3  +  1 / ( x + 1 )

                                      pour tout x dans   ] - ∞ , - 1 [ U ] - 1, + ∞ [ .

                                         a = 1      b =  3            c = 1

                     3.a. Trouvons la fonction dérivée h ' de h.

                           On  a  h = u + 1 / v

                          avec    u : x  → x + 3   et   v : x → x + 1

                        Les fonctions u et v sont définies et dérivables dans IR.

                         v est non nulle dans IR - { - 1 } .

                         Donc la fonction u + 1 / v    c-à-d  h   est définie et dérivable

                         dans IR - { - 1 } .

                             On a :  h ' = u '  - v ' / v²

                            avec   u ' : x  → 1    et   v ' : x →  1

                     Donc   h ' : x →   1   -  1 / ( x + 1 )²

                       c-à-d        h ' : x →  ( (  x+1 )²  - 1 )  /  ( x + 1 )² 

                     Or     (  x+1 )²  - 1 =  ( x+1 )²  - 1²  =  ( x + 1 - 1 ) ( x + 1 + 1 )

                   c-à-d       (  x+1 )²  - 1   =   x ( x + 2 ) 

                    Donc     h ' : x → (  x(x+ 2)   ) /  ( x + 1 )²  

                            Conclusion :    On a  h ' : x → (  x(x+ 2)   ) /  ( x + 1 )²  

                                                       sur  ] - ∞ , - 1 [ U ] - 1, + ∞ [ .

                           b. Donnons le signe de h ' ( x ) pour tout x dans

                              l'intervalle  ] - 1, + ∞ [ .

                             Soit x dans  l'intervalle  ] - 1, + ∞ [ .

                              On a   h ' ( x )  qui est du signe de x ( x + 2 ).

                          Dans IR le trinome du second degré x ( x + 2 ) s'annule

                          quand    x = - 2  ou  x = 0 .

                         On a   1 qui est le coefficient de x² . 

                           1 est positif.

                         La règle des signes d'un rrinome

                         du second degré nous permet de dire:

                                   •    pour    x > 0     on a      x ( x + 2 ) > 0 .

                                   •     pour    -1 < x < 0   on a      x ( x + 2 ) < 0  

                       Conclusion:    h '( x ) = 0   ssi x = 0

                                             h '( x ) < 0   ssi    - 1 < x < 0

                                             h '( x ) > 0     ssi      x > 0

                     c. Donnons le sens de variation de h sur l'intervalle ] - 1, + ∞ [ .

                         D'après  le 3.b   on peut dire

                  Conclusion :   h est  strictement croissante sur l'intervalle [ 0 , +  ∞ [ .

                                         h est strictement  décroissante sur l'intervalle ] - 1, 0] .

                         Le tableau de variation de h sur l'intervalle ] - 1, + ∞ [ est : 

                         ( Pas demandé )

x - 1            0            + ∞
h ' ( x ) ||    -       0       +
h ( x ) ||   ↓        4       ↑

                  4. Complétons le tableau de valeurs :

x 0,5 0 1 2 3
h ( x ) 4,1 4 4,5 5,3 6,2

        5. Courbe  ( C ) de h sur l'intervalle ] - 1 , +  ∞ [.

            La droite Δ : x = - 1  est verticale . Elle passe par le point de coordonnées (  - 1 ; 0 ).

            Pour tracer la droite oblique D : y = x + 3  il sufit de prendre les points de coordonnées

            ( - 3 , 0 )  et ( 0 , 3 ) .

            La tangente T  à la courbe ( C ) au point d'abscisse 0 est HORIZONTALE car h' ( 0 ) = 0.

            T passe par le point de coordonnées ( 0 ; 4 ).

        6. a . Soit x > 0 .

               Justifions que :   0 <   1 / ( x + 1 )    <   1 / x .  

                 On a  :        0 < x < x + 1 

              Or la fonction inverse est strictement décroissante et strictement positive dans l'intervalle ] 0 , +  ∞ [.

               D'où    0 < 1 / ( x + 1 ) < 1 / x    

                Conclusion :   On a le résultat demandé.

            b. Montrons que  lim ( h( x ) - ( x + 3 )) = 0.

                                       x → + ∞ 

               Soit x > 0 .

               On a vu que :     h( x ) = x + 3 +   1 / ( x + 1 ) 

              Donc       h( x ) - ( x + 3 ) = 1 / ( x + 1 )

              Posons    k = x + 1       

         On a :

                      lim 1 / ( x + 1 ) =  lim  1 / k  = 0

                     x → + ∞                k → + ∞ 

             Donc    lim ( h( x ) - ( x + 3 )) = 0.

                        x → +  ∞ 

            Conclusion : On a bien le résultat demandé.

             Conséquence :   La droite D : y = x + 3   est une asymptote à la courbe ( C ) de h en + ∞ .

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