INFO EX BAC ES ANTILLES-GUYANE

           INFO   BAC ANTILLES-GUYANE  2007    SUR   LES SUITES


          EXERCICE 2      5 points

                         Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

                Dans un pays, un organisme étudie l’évolution de la population.

               Compte tenu des naissances et des décès, on a constaté que la population a un taux

               d’accroissement naturel et annuel de 14 pour mille.

               De plus, chaque année, 12 000 personnes arrivent dans ce pays et 5 000 personnes le

               quittent.

              En 2005, la population de ce pays était de 75 millions d’habitants.

             On suppose que l’évolution ultérieure obéit au modèle ci-dessus.

             On note Pn la population de l’année 2005 + n exprimée en milliers d’habitants.

        1. Déterminer P0, P1 et P2.

           La suite de terme général Pn est-elle arithmétique ? géométrique ?

           Justifier la réponse.

       2. Expliquer pourquoi on obtient, pour tout entier naturel n,    Pn+1 = 1,014 Pn + 7.

       3. Démontrer que la suite (Un) définie par  Un = Pn + 500 pour tout entier naturel n est

           une suite géométrique.

           Déterminer sa raison et son premier terme.

       4. Exprimer Un  puis Pn en fonction de n.

       5. a. Combien d’habitants peut-on prévoir en 2010 ?

           b. Au bout de combien d’années la population aura-t-elle doublé par rapport à

              l’année 2005 ?

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       Réponse:

     1.  Déterminons P0, P1 et P2.

               ATTENTION:      P0, P1 et P2      sont exprimés en milliers d'habitants.

       •      P0  = 75 000    milliers  d'habitants  car  en 2005 + 0   il y a 75 000 000  habitants

       •      75 000 000  ×( 1 + 14 /1000)  +12 000 - 5000 = 76 057 000

                P1    76 057   milliers d'habitants

                                             1 + 14 /1000 étant le cœfficient multiplicateur

                                                pour " l'accroissement naturel et annuel"

               c-à-d           P1    = 76 057    milliers d'habitants

            76057000    ×( 1 + 14 /1000)  +12 000 - 5000 = 77128798

             Ainsi:       P2    = 77128, 798  milliers d'habitants       

            c-à-d          P2    =  77 128, 798  milliers d'habitants

                   Conclusion :

             En 2005     P75 000     milliers d'habitants   

             En 2006      P1   = 76 057    milliers d'habitants   

             En 2076       P2    =  77 128,798  milliers d'habitants

        Regardons si la suite (  Pn ) est arithmétique ? géométrique ?   

         P2 - P1  =  77128,798 - 76057 = 1 071, 798

         P1 - P =  76057 - 75000 =  1 057

     Donc     P2 - P1   ≠  P1 - P0

       Ainsi la suite Pn ) n'est pas arithmétique.

        P2  /  P1  =  77128,798 /  76057  = 1,014092036

        P1   / P 76057 / 75000   = 1.01409333 ....

       Donc    P2 /  P1   ≠  P1 /  P0

          La suite ( Pn ) ne  semble ni arithmétique ni géométrique.

    2. Expliquons pourquoi on obtient, pour tout entier naturel n,    Pn+1 = 1,014 Pn + 7.

      

            •   Le nombre d'habitants en 2005 + ( n + 1 )   est :       1000× Pn+1 habitants

           •     Le nombre d'habitants en 2005 +  n    est :               1000 × Pn     habitants

           •    Comme    1 + 14 /1000 étant le cœfficient multiplicateur

                                  pour " l'accroissement naturel et annuel"

   Le nombre d'habitants en 2005 + ( n + 1 )   est :

          ( 1 + 14 / 1000 ) ×1000× Pn + 12000 - 5000 = ( 1 + 14 / 1000 ) ×1000× Pn + 7000

       c-à-d            1000× Pn+1 = ( 1 + 14 / 1000 ) ×1000× Pn + 7000

          c-à-d    en divisant par 1000

                 Pn+1 = ( 1 + 14 / 1000 ) × Pn + 7

          c-à-d  

                Pn+1 = 1,014 Pn + 7

            Conclusion :  Pn+1 = 1,014 Pn + 7    avec n dans IN         

   3. Démontrons que la suite ( Un ) définie par  Un = Pn + 500 pour tout entier naturel n est

           une suite géométrique. Précison,s sa raison et son premier terme.

      Considérons :

           Un+1  = Pn+1 + 500

           Or     Pn+1 = 1,014 Pn + 7

         D'où

              Un+1  =1,014 Pn + 7+ 500

        Mais  Un = Pn + 500  s'écrit aussi   Pn = Un - 500

        d'où

           Un+1  =1,014 × ( Un - 500  ) + 7+ 500  

       c-à-d

         Un+1  =1,014  Un 1,014 × 500  + 507  

           Mais   - 1 ,014× 500 + 507 =

     D'où         Un+1  =1,014  Un    pour tout n dans IN

           De plus :   U0    =  P0    + 500 = 75000 + 500 = 75500

         Conclusion : La suite Unest bien géométrique de raison 1 ,014 et de

               premier terme U0  =   75500    

     4. Exprimons  Un  puis Pn en fonction de n.

         Directement d'après le cours :

                    Un  =  U0   ×   1,014n

                 c-à-d   

            Conclusion :    Un  =  75500  ×   1,014n       avec n dans IN

          En reportant dans  Pn = Un - 500 

          il vient :

             Conclusion         Pn = 75500   ×   1,014n   - 500 avec n dans IN

    5. a. Trouvons combien d’habitants on peut prévoir en 2010 ?

          On a :    2010  = 2005 + 5   

            Considérons  n = 5

             P5  =   75500 × 1,0145   - 500

            c-à-d

             P5  ≈  80435,06626     milliers d'habitants

              Conclusion     La réponse est    80 435 066 habitants environs 

          b. Regardons au bout de combien d’années la population aura doublé par rapport à

              l’année 2005 ?

    •   En   2005 :                  P0  = 75000                                 milliers d'habitants

    •  En   2005 + n :             Pn  =   75500 × 1,014n   - 500        milliers d'habitants

      Cherchons le plus petit entier n telque :       Pn   ≥  2 × P0   

              c-à-d  

                              75500 × 1,014n   - 500    ≥  × 75000

                c-à-d   

                                75500 × 1,014n      ≥  × 75000 + 500

              c-à-d   

                               1,014n         ≥   ( × 75000 + 500  ) / 75500

            c-à-d       imposons

                           1,014n         ≥     1,9933775

      Méthode pour ceux qui ne connaissent pas la fonction ln.

         On teste des entiers jusqu'à avoir l'inégalité vérifiée.

             Pour   n =   49         alors         1,014n       1,9763      L'inégalité n'est pas vérifiée.

             Pour    n =  50           alors         1,014n      2,004        L'inégalité est  vérifiée.

        Donc,  le plus petit entier n qui convient  est :   n = 50

          On a :  2005 + 50 = 2055

            Conclusion:   C'est en 2055 que la population aura doublée .

       Autre méthode  avec l'utilisation de ln.

              Comme      1,014n         ≥     1,9933775

              est une inégalité dans IR+*  

             et que la fonction ln est strictement croissante dans les

             réels strictement positifs  on a :

                           ln (  1,014n   )  ≥    ln (  1,9933775 )

              c-à-d          (     d'après une propriété de la fonction ln  qui dit que  

                                                 ln ( an ) = n × ln( a )  avec a > 0 et n dans IN  )

                            n × ln (1,014 )   ≥    ln (  1,9933775 )

              c-à-d      comme  ln (  1,014n   ) > 0

                            n > ln (  1,9933775 ) / ln (  1,014n   )

              Mais     ln (  1,9933775 ) / ln (  1,014n   )     ≈  49,618

           Prenons le plus petit entier naturel n tel que n ≥  49,618

         C'est  n = 50

         Après c'est la même conclusion.        

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