INFO BAC ANTILLES-GUYANE 2007 SUR LES SUITES
EXERCICE 2 5 points
Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Dans un pays, un organisme étudie l’évolution de la population.
Compte tenu des naissances et des décès, on a constaté que la population a un taux
d’accroissement naturel et annuel de 14 pour mille.
De plus, chaque année, 12 000 personnes arrivent dans ce pays et 5 000 personnes le
quittent.
En 2005, la population de ce pays était de 75 millions d’habitants.
On suppose que l’évolution ultérieure obéit au modèle ci-dessus.
On note Pn la population de l’année 2005 + n exprimée en milliers d’habitants.
1. Déterminer P0, P1 et P2.
La suite de terme général Pn est-elle arithmétique ? géométrique ?
Justifier la réponse.
2. Expliquer pourquoi on obtient, pour tout entier naturel n, Pn+1 = 1,014 Pn + 7.
3. Démontrer que la suite (Un) définie par Un = Pn + 500 pour tout entier naturel n est
une suite géométrique.
Déterminer sa raison et son premier terme.
4. Exprimer Un puis Pn en fonction de n.
5. a. Combien d’habitants peut-on prévoir en 2010 ?
b. Au bout de combien d’années la population aura-t-elle doublé par rapport à
l’année 2005 ?
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Réponse:
1. Déterminons P0, P1 et P2.
ATTENTION: P0, P1 et P2 sont exprimés en milliers d'habitants.
• P0 = 75 000 milliers d'habitants car en 2005 + 0 il y a 75 000 000 habitants
• 75 000 000 ×( 1 + 14 /1000) +12 000 - 5000 = 76 057 000
P1 = 76 057 milliers d'habitants
1 + 14 /1000 étant le cœfficient multiplicateur
pour " l'accroissement naturel et annuel"
c-à-d P1 = 76 057 milliers d'habitants
• 76057000 ×( 1 + 14 /1000) +12 000 - 5000 = 77128798
Ainsi: P2 = 77128, 798 milliers d'habitants
c-à-d P2 = 77 128, 798 milliers d'habitants
Conclusion :
En 2005 P0 = 75 000 milliers d'habitants
En 2006 P1 = 76 057 milliers d'habitants
En 2076 P2 = 77 128,798 milliers d'habitants
Regardons si la suite ( Pn ) est arithmétique ? géométrique ?
P2 - P1 = 77128,798 - 76057 = 1 071, 798
P1 - P0 = 76057 - 75000 = 1 057
Donc P2 - P1 ≠ P1 - P0
Ainsi la suite ( Pn ) n'est pas arithmétique.
P2 / P1 = 77128,798 / 76057 = 1,014092036
P1 / P0 = 76057 / 75000 = 1.01409333 ....
Donc P2 / P1 ≠ P1 / P0
La suite ( Pn ) ne semble ni arithmétique ni géométrique.
2. Expliquons pourquoi on obtient, pour tout entier naturel n, Pn+1 = 1,014 Pn + 7.
• Le nombre d'habitants en 2005 + ( n + 1 ) est : 1000× Pn+1 habitants
• Le nombre d'habitants en 2005 + n est : 1000 × Pn habitants
• Comme 1 + 14 /1000 étant le cœfficient multiplicateur
pour " l'accroissement naturel et annuel"
Le nombre d'habitants en 2005 + ( n + 1 ) est :
( 1 + 14 / 1000 ) ×1000× Pn + 12000 - 5000 = ( 1 + 14 / 1000 ) ×1000× Pn + 7000
c-à-d 1000× Pn+1 = ( 1 + 14 / 1000 ) ×1000× Pn + 7000
c-à-d en divisant par 1000
Pn+1 = ( 1 + 14 / 1000 ) × Pn + 7
c-à-d
Pn+1 = 1,014 Pn + 7
Conclusion : Pn+1 = 1,014 Pn + 7 avec n dans IN
3. Démontrons que la suite ( Un ) définie par Un = Pn + 500 pour tout entier naturel n est
une suite géométrique. Précison,s sa raison et son premier terme.
Considérons :
Un+1 = Pn+1 + 500
Or Pn+1 = 1,014 Pn + 7
D'où
Un+1 =1,014 Pn + 7+ 500
Mais Un = Pn + 500 s'écrit aussi Pn = Un - 500
d'où
Un+1 =1,014 × ( Un - 500 ) + 7+ 500
c-à-d
Un+1 =1,014 Un - 1,014 × 500 + 507
Mais - 1 ,014× 500 + 507 = 0
D'où Un+1 =1,014 Un pour tout n dans IN
De plus : U0 = P0 + 500 = 75000 + 500 = 75500
Conclusion : La suite ( Un ) est bien géométrique de raison 1 ,014 et de
premier terme U0 = 75500
4. Exprimons Un puis Pn en fonction de n.
Directement d'après le cours :
Un = U0 × 1,014n
c-à-d
Conclusion : Un = 75500 × 1,014n avec n dans IN
En reportant dans Pn = Un - 500
il vient :
Conclusion Pn = 75500 × 1,014n - 500 avec n dans IN
5. a. Trouvons combien d’habitants on peut prévoir en 2010 ?
On a : 2010 = 2005 + 5
Considérons n = 5
P5 = 75500 × 1,0145 - 500
c-à-d
P5 ≈ 80435,06626 milliers d'habitants
Conclusion La réponse est 80 435 066 habitants environs
b. Regardons au bout de combien d’années la population aura doublé par rapport à
l’année 2005 ?
• En 2005 : P0 = 75000 milliers d'habitants
• En 2005 + n : Pn = 75500 × 1,014n - 500 milliers d'habitants
Cherchons le plus petit entier n telque : Pn ≥ 2 × P0
c-à-d
75500 × 1,014n - 500 ≥ 2 × 75000
c-à-d
75500 × 1,014n ≥ 2 × 75000 + 500
c-à-d
1,014n ≥ ( 2 × 75000 + 500 ) / 75500
c-à-d imposons
1,014n ≥ 1,9933775
Méthode pour ceux qui ne connaissent pas la fonction ln.
On teste des entiers n jusqu'à avoir l'inégalité vérifiée.
Pour n = 49 alors 1,014n ≈ 1,9763 L'inégalité n'est pas vérifiée.
Pour n = 50 alors 1,014n ≈ 2,004 L'inégalité est vérifiée.
Donc, le plus petit entier n qui convient est : n = 50
On a : 2005 + 50 = 2055
Conclusion: C'est en 2055 que la population aura doublée .
Autre méthode avec l'utilisation de ln.
Comme 1,014n ≥ 1,9933775
est une inégalité dans IR+*
et que la fonction ln est strictement croissante dans les
réels strictement positifs on a :
ln ( 1,014n ) ≥ ln ( 1,9933775 )
c-à-d ( d'après une propriété de la fonction ln qui dit que
ln ( an ) = n × ln( a ) avec a > 0 et n dans IN )
n × ln (1,014 ) ≥ ln ( 1,9933775 )
c-à-d comme ln ( 1,014n ) > 0
n > ln ( 1,9933775 ) / ln ( 1,014n )
Mais ln ( 1,9933775 ) / ln ( 1,014n ) ≈ 49,618
Prenons le plus petit entier naturel n tel que n ≥ 49,618
C'est n = 50
Après c'est la même conclusion.
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