SPE TES

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Nom : ............ 50 mn Date : .......... Classe : ............

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• Soit la suite ( u ) définie sur IN par : u₀ = 3 et u_{n + 1} = ( 3 / 4 ) u_n+ 1 / 2 pour tout n dans IN .

Soit v_n = u_n - 2 pour tout n dans IN .

• • Montrer que la suite ( v ) est géométrique de raison 3 / 4. 1 point

On a : v_{n + 1} = u_{n + 1} - 2

Or u_{n + 1} = ( 3 / 4 ) u_n+ 1 / 2

Donc v_{n + 1} = ( 3 / 4 ) u_n+ 1 / 2 - 2

c-à-d v_{n + 1} = ( 3 / 4 ) u_n- 3 / 2

c-à-d v_{n + 1} = ( 3 / 4 ) u_n- 6 / 4

c-à-d v_{n + 1} = ( 3 / 4 ) ( u_n - 2 )

Mais u_n - 2 = v_n

Donc v_{n + 1} = ( 3 / 4 ) v_n pour tout n dans IN.

Conclusion: La suite ( v ) est géométrique de raison 3 / 4 .

• • Donner v_n en fonction de n . 1 point

On a : v_0 = u_n - 2 = 3 - 2 = 1

Comme 3 / 4 ≠ 0 on a v_n = v₀q ⁿ pour tout n dans IN.

c-à-d v_n = ( 3 / 4 )ⁿ pour tout n dans IN .

• • Exprimer u_nen fonction de n. 0,5 point

On a u_n - 2 = v_n donc u_n = 2 + v_n

Conclusion: u_n = 2 + ( 3 / 4 )^{n pour tout n dans IN .}

• • Les suites ( u ) et ( v ) convergent-elles ? 0,5 point

◊ Comme 0 < 3 / 4 < 1 on a lim ( 3 / 4 )ⁿ = 0

n →+ ∞

Donc lim v_n = 0

n →+ ∞

Conclusion: La suite ( v )converge vers 0. 0,5 point

◊ Donc lim ( 2 + ( 3 / 4 )ⁿ ) = 2 + 0 = 2

n → + ∞

lim u_n = 2

n →+ ∞

Conclusion: La suite ( u )converge vers 2.

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• Soit la suite (w ) définie par : w₀= 1 / 2 et w_{n + 1} = w_n + 1 pour tout n dans IN.

• • Que peut-on dire de cette suite ? 0,5 point

Comme w_{n + 1} - w_n = 1 pour tout n dans IN.

Conclusion: La suite ( w ) est arithmétique de raison r = 1

• • Donner son sens de variation. 0,75 point

Comme r > 0 , elle est croissante sur IN.

Conclusion: La suite ( w ) est croissante sur IN.

• • Donner son terme général en fonction de n . 0,75 point

On a : w_n = w₀ + n 1 pour tout n dans IN.

Conclusion: w_n = 1 / 2 + n pour tout n dans IN.

• Soit la suite ( k ) telle que : k_n= ( 4 n + 3 ) / ( 3 n + 2 ) pour tout n dans IN .

• • Donner son sens de variation.

Considérons la fonction k : x → ( 4 n + 3 ) / ( 3 n + 2 ) rationnelle définie

et dérivable sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [ .

Soit x dans l'intervalle [ 0 , + ∞ [ . 1 point

On a : k' ( x ) = ( ( 3x + 2 ) × 4 - ( 4 x + 3 ) × 3 ) / ( 3x + 2 )² = ( 8 - 9 ) / ( 3x + 2 )²

c-à-d k' ( x ) = - 1 / ( 3x + 2 )²

Donc k' < 0 sur [ 0 , + ∞ [ .

La fonction k est décroissante sur [ 0 , + ∞ [ . Donc sa restriction à IN l'est aussi.

Conclusion: La suite ( k ) est décroissante sur IN.

• • Donner lim k_n .

_{n → +∞}

Le quotient simplifié des termes de plus haut degré

de k( x ) est 4 / 3 . 1 point

Donc lim k( x ) = 4 / 3

x → +∞

Conclusion: lim k_n = 4 / 3

_{n → +∞}

• Soit la suite ( h ) définie par : h₀= 10 et h_{n + 1}= 0,6 h_n+ + 2 pour tout n dans IN.

• • Tracer les droites D : y = x et D' : y = 0,6 x + 2 dans un repère orthonormal.

Web de la suite ( h )

1,25 point

• • Faire le Web de la suite pour représenter h_{1 ,} h_{2 ,} h₃ sur l'axe des abscisses . 0,75 point

• • Que pouvez -vous conjecturer pour le sens de variation de la suite ( h ) ? ( Expliquer.)

On voit que h₀> h₁> h₂> h₃ . Donc la suite ( h ) semble être décroissante sur IN.

0,5 point

• Une balle élastique remonte au 2 / 3 de la hauteur où elle est lâchée.

Soit L₀ = 2 m la hauteur où elle est lachée au départ. Soit L_n la hauteur de la balle après n

rebonds. ( n dans IN . )

• • Trouver L_n en fonction de n.

On a : L_{n + 1} = ( 2 / 3 ) L_n pour tout n dans IN.

La suite ( L ) est géométrique de raison 2 / 3

Conclusion : L_n = L₀ ( 2 /3 )ⁿ c-à-d L_n = 2 ( 2 /3 )ⁿ pour tout n dans IN

1 point

• • Trouver le plus petit entier n tel L_n < 0, 1.

L_n < 0, 1 s'écrit 1 point

2 ( 2 / 3 )ⁿ< 0,1

c-à-d ( 2 / 3 )ⁿ< 0,1 / 2

c-à-d ( 2 / 3 )ⁿ< 0,05

Or ( 2 / 3 )⁵ ≈ 0,131

( 2 / 3 )⁶≈ 0,087

( 2 / 3 )⁷≈ 0,058

( 2 / 3 )⁸≈ 0,039

Conclusion: Le plus petit entier n qui convient est n = 8

• Dessiner la section du tétraèdre ABCD avec le plan ( IJK ).

Tétraèdre ABCD et plan IJK

3 points

( Voir figure de l'activité identique faite en classe )

K est dans la face ( ABD ) . I et J sont respectivement sur les arêtes [ AB] et [ AC].

Justifier.

Soit L le point d'intersection des droites ( IK ) et (AD ) dans le plan (ABD ).

♦ [ IJ] est l'intersection de la face ABC avec le plan ( IJK ).

En effet: I et J sont sur des arêtes de la face ABC et aussi dans le plan ( IJK ).

♦ [ JL ] est l'intersection de la face ACD avec le plan (IJK).

En effet: L et J sont sur des arêtes de la face ACD et aussi dans le plan ( IJK ).

♦ [ IL] est l'intersection de la face ABD avec le plan ( IJK ).

En effet: I et L sont sur des arêtes de la face ABD et aussi dans le plan ( IJK ).

La section du tétraèdre ABCD par le plan ( IJK ) est donc le triangle IJL.

• • Représenter la droite d'intersection des plans ( IJK ) et ( BCD ) sur la figure . Justifier. 4 points

Les droites ( BC) et ( IJ ) dans le plan (ABC ) se coupent en un point F.

Les droites ( IL ) et ( BD ) dans le plan ( ABD ) se coupent en un point E.

Les deux points F et E distincts sont dans les deux plans (BCD ) et (IJK ) .

Conclusion : La droite ( FE ) est l'intersection des plans ( BCD ) et ( IJK)

Tétraèdre et plan

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RD 1

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