INFO DS n° 11 1S 3 juin 09

 SUJET     du     DS n° 11                        Mercredi 3 Juin 2009           1S1

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 Nom :  ............                             50 mn                        Date :  ..........        Classe : ............

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  • Soit la suite ( u ) définie sur IN par :  u = 3  et   un + 1   = ( 3 / 4 )  un   + 1 / 2    pour tout  n dans IN .

      Soit    vn   =  un   -  2    pour tout  n dans IN .

     •  •  Montrer que la suite ( v ) est géométrique de raison  3 / 4.                                                             1 point

             On a :      vn + 1   =  un + 1     -  2   

               Or          un + 1   = ( 3 / 4 )  un   + 1 / 2  

               Donc       vn + 1   = ( 3 / 4 )  un   + 1 / 2    - 2

               c-à-d    vn + 1   = ( 3 / 4 )  un   -  3 / 2

             c-à-d      vn + 1   = ( 3 / 4 )  un   -  6 / 4

              c-à-d      vn + 1   = ( 3 / 4 )  (  un    - 2  )

                Mais    un   -  2  = vn   

                Donc     vn + 1   = ( 3 / 4 )  v      pour tout n dans IN.

      Conclusion:  La suite ( v ) est géométrique de raison 3 / 4 .

  • • Donner  vn   en fonction de n .                                                                                                           1 point

          On a :      v0  =   un - 2   =  3 -  2 = 1

   Comme 3 / 4  ≠ 0    on a       vn   = v0    n       pour tout n dans IN.

      c-à-d       vn   = ( 3 / 4 )n      pour tout n dans IN .

 • •  Exprimer  un  en fonction de  n.                                                                                                           0,5 point

          On a     un  -  2  = vn    donc    un =   2 +  vn   

    Conclusion:    un =   2 + ( 3 / 4 )n      pour tout n dans IN . 

 

   Les suites   ( u ) et  ( v ) convergent-elles ?                                                                                            0,5 point

       Comme    0 <  3 / 4 < 1     on a     lim ( 3 / 4 )n  = 0

                                                             n    →+ ∞

         Donc     lim   vn    = 0

                      n    →+ ∞

                Conclusion: La suite ( v )converge vers 0.                                                                              0,5 point

           Donc         lim (  2 +  ( 3 / 4 )n  ) = 2 + 0  = 2 

                              n    → + ∞

         lim   un    = 2

           n    →+ ∞

  Conclusion: La suite ( u )converge vers 2.                                                                                                                                                                   

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   •  Soit la suite (w )  définie par :    w0 = 1 / 2     et            wn + 1  =  wn + 1    pour tout   n dans IN. 

      • •  Que peut-on dire de cette suite ?                                                                                                   0,5 point

           Comme   wn + 1  -  wn     =  1    pour tout   n dans IN. 

            Conclusion:  La suite  ( w ) est arithmétique de raison r = 1 

    • •    Donner son sens de variation.                                                                                                        0,75 point

         Comme r > 0 , elle est croissante sur IN.

           Conclusion:  La suite  ( w ) est croissante sur IN.

     • •  Donner son terme général en fonction de n .                                                                                   0,75 point

            On a :   wn  =   w0   + n 1           pour tout n dans IN.

        Conclusion:   wn  = 1 / 2 + n    pour tout n dans IN. 

         


 

  • Soit la suite ( k )   telle que :   kn =  (  4 n + 3  ) /  ( 3 n + 2  )   pour tout n dans IN . 

   • •  Donner son sens de variation.

         Considérons la fonction  k : x → (  4 n + 3  ) /  ( 3 n + 2  )  rationnelle définie

         et dérivable sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [ .             

          Soit x dans l'intervalle [ 0 , + ∞ [ .                                                                                       1 point

         On a :   k' ( x ) = (  ( 3x + 2 ) × 4 - ( 4 x + 3 ) ×   ) / ( 3x + 2 )²  = ( 8 - 9 ) / ( 3x + 2 )² 

         c-à-d      k' ( x ) = - 1 /  ( 3x + 2 )² 

      Donc  k' < 0 sur   [ 0 , + ∞ [ .                                                                                                                                                                  

      La fonction k est décroissante sur [ 0 , + ∞ [ .  Donc sa restriction à IN l'est aussi.    

  Conclusion:  La suite  ( k )  est décroissante sur IN.

    • • Donner   lim  kn      .

                                n  →  +∞       

         Le quotient simplifié des termes de plus haut degré

         de k( x ) est 4 / 3 .                                                                                                                   1 point      

         Donc   lim k( x ) = 4 / 3

                   x →  +∞

  Conclusion:     lim kn  = 4 / 3 

                           n  →  +∞                                                                                                                                      

 


 

   •  Soit la suite ( h )  définie par : h0 = 10  et    hn + 1   =   0,6   hn   +  + 2   pour tout  n dans IN.  

   • •  Tracer  les droites  D : y = x  et D' : y = 0,6 x + 2  dans un repère orthonormal.      

 

                                                    

                                                                                                                                                               1,25 point  

  • •    Faire le Web de la suite pour représenter    h1  ,    h2    ,   h3   sur l'axe des abscisses .                 0,75  point

 

 • • Que pouvez -vous conjecturer pour le sens de variation de la suite ( h  ) ? ( Expliquer.)  

 On voit que  h0   >    h>    h2    >   h3   . Donc la   suite ( h ) semble être décroissante sur IN.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    

                                                                                                                                                                0,5 point

  


 

   • Une balle élastique remonte au  2 / 3  de la hauteur où elle est lâchée.

     Soit   L0  =  2  m  la hauteur où elle est lachée au départ. Soit   Ln   la hauteur de la balle après n

     rebonds. ( n dans IN . )

   • • Trouver   Ln  en fonction de n.    

          On a :     Ln + 1     = ( 2 / 3 )  Ln      pour tout n dans IN.

         La suite ( L ) est géométrique de raison 2 / 3                                                                                

        Conclusion : Ln   =  L0  ( 2 /3 )n         c-à-d    Ln   =  2  ( 2 /3 )n      pour tout n dans IN

                                                                                                                                                             1 point

    • • Trouver le plus petit entier n  tel   Ln   <  0, 1.

           Ln   <  0, 1   s'écrit                                                                                                                    1 point 

                         2 ( 2 / 3 )< 0,1

           c-à-d     ( 2 / 3 )< 0,1 / 2 

           c-à-d     ( 2 / 3 )< 0,05

             Or     ( 2 / 3 )5   ≈  0,131

                     ( 2 / 3 )6   ≈  0,087

                     ( 2 / 3 )7   ≈  0,058

                     ( 2 / 3 )8   ≈ 0,039

     Conclusion:  Le plus petit entier n qui convient est n = 8


 

   • Dessiner la section du tétraèdre ABCD  avec le plan ( IJK ).      

   

            

                                                                                                                                                                3 points

                  (  Voir figure de l'activité identique faite en classe  )

                      

          K est dans la face ( ABD ) . I et J sont respectivement sur les arêtes [ AB] et [ AC].

           Justifier.

             Soit L le point d'intersection des droites ( IK ) et (AD ) dans le plan (ABD ).

           ♦   [ IJ] est l'intersection de la face ABC avec le plan ( IJK ).

               En effet:  I et J sont sur des arêtes de la face ABC et aussi dans le plan ( IJK ).

           ♦   [ JL ] est l'intersection de la face  ACD avec le plan (IJK).

                 En effet:  L et J sont sur des arêtes de la face ACD et aussi dans le plan ( IJK ).

            ♦   [ IL]  est l'intersection de la face ABD avec le plan ( IJK ).

                  En effet:  I et L  sont sur des arêtes de la face ABD et aussi dans le plan ( IJK ).

            La section du tétraèdre ABCD par le plan ( IJK ) est donc le triangle IJL.

             •  •  Représenter la droite d'intersection des plans ( IJK ) et ( BCD ) sur la figure .  Justifier.                   4 points

            Les droites ( BC) et ( IJ ) dans le plan (ABC ) se coupent en un point F.

            Les droites  ( IL )  et ( BD )  dans le plan ( ABD ) se coupent en un point E.

            Les deux points F et E distincts sont dans les deux plans (BCD ) et (IJK ) .

           Conclusion : La droite ( FE ) est l'intersection des plans ( BCD ) et ( IJK)

   

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                                                                                                                                                                   RD     1