DV Maison TES EX 2 PARTIE 1 Lundi 6 février 2012

               Devoir maison     TES     Lundi 6 février 2012     SUITES

 

          PREMIERE PARTIE DE L'EXERCICE 2

       Le thème : Les suites définies par leur deux premiers termes et une relation

      de récurrence exprimant le terme de rang n + 2 à partir ce ceux de rang n + 1 et n .

  1.a. Etablir u0 = 300 et u1 = 180 .

    • En 2005 = 2005 + 0  la production de polluants est:   300 000 t  = 300 milliers de t

      Donc u0 = 300

    • En 2006 = 2005 + 1  la production de polluants est:   180 000 t  = 180 milliers de t

       Donc u1 = 180

       Calcul de u2 et u3 .

       On a :

  Augmentation de 30% des polluants   2005+1 →  2005+ 2 =  ( 1 + 30% ) u1

  Diminution de 40% des polluants en 2005+2 comparé à 2005+ 0  = ( 1 - 40% ) u0

  Donc              u2 = ( 1 + 30% )u1 + ( 1 - 40% ) u0

  c-à-d                 u2 = 1,3 u1 - 0,4 u0

  c-à-d               u2 = 1,3 × 180 - 0,4  ×300 = 114

    Conclusion :     u2 = 114

       Pollution:          300 ------> 180 ------> 114     en milliers de t

      . OUI. Le solde de la pollution semble diminuer.

    b.  Expliquer que l'on ait:      un+2 = 1,3  un+1 - 0,4 un pour tout n dans IN

      C'est un raisonnement analogue à celui que l'on vient de faire.

      Même schématisation.

       On a :

     Augmentation de 30% des polluants   2005+ n+1 →  2005+n+ 2 =  ( 1 + 30% ) un+1

     Diminution de 40% des polluants en 2005+n+2 comparé à 2005+n+ 0  = ( 1 - 40% ) un+0

Donc              un+2 = ( 1 + 30% )un+1 + ( 1 - 40% ) un+0

c-à-d               un+2 = 1,3 un+1 - 0,4 un+0

c-à-d                 un+2 = 1,3  un+1 - 0,4 un pour tout n dans IN

     Conclusion : On a bien l'égalité.

                          un+2 = 1,3  un+1 - 0,4 un pour tout n dans IN

2. Soit la suite ( v ) définie par : 

                        vn = a ( 0,8)n + b ( 0,5)n

        a. Déterminer les valeurs de a et b pour que  :

              v0 = 300    et      v1 = 180 .

            Nous allons prendre le cas de n = 0 puis celui de n = 1.

•    v0 = 300    donne    v0 = a ( 0,8)0 + b ( 0,5)0 = 300

      c-à-d         a + b = 300

•    v1 = 180      donne    v1 = a ( 0,8)1 + b ( 0,5)1 = 180

     c-à-d     0,8 a + 0,5 b = 180

     Il suffit de résoudre le système:

   a + b = 300                           L1

    0,8 a + 0,5 b = 180                L2

      L2 ← L2 - 0,8 L1

c-à-d

       a + b = 300                 L1

     - 0,3 b = - 60              L2

   c-à-d

   a = 300- b               L1

   b =200                  L2

    Conclusion :   a = 100   et b = 200

     n = 100 ×( 0,8)n + 200 ×( 0,5)n pour tout n dans IN

                  Voir la seconde feuille pour voir la suite