Devoir maison TES Lundi 6 février 2012 SUITES
PREMIERE PARTIE DE L'EXERCICE 2
Le thème : Les suites définies par leur deux premiers termes et une relation
de récurrence exprimant le terme de rang n + 2 à partir ce ceux de rang n + 1 et n .
1.a. Etablir u0 = 300 et u1 = 180 .
• En 2005 = 2005 + 0 la production de polluants est: 300 000 t = 300 milliers de t
Donc u0 = 300
• En 2006 = 2005 + 1 la production de polluants est: 180 000 t = 180 milliers de t
Donc u1 = 180
Calcul de u2 et u3 .
On a :
Augmentation de 30% des polluants 2005+1 → 2005+ 2 = ( 1 + 30% ) u1
Diminution de 40% des polluants en 2005+2 comparé à 2005+ 0 = ( 1 - 40% ) u0
Donc u2 = ( 1 + 30% )u1 + ( 1 - 40% ) u0
c-à-d u2 = 1,3 u1 - 0,4 u0
c-à-d u2 = 1,3 × 180 - 0,4 ×300 = 114
Conclusion : u2 = 114
Pollution: 300 ------> 180 ------> 114 en milliers de t
. OUI. Le solde de la pollution semble diminuer.
b. Expliquer que l'on ait: un+2 = 1,3 un+1 - 0,4 un pour tout n dans IN
C'est un raisonnement analogue à celui que l'on vient de faire.
Même schématisation.
On a :
Augmentation de 30% des polluants 2005+ n+1 → 2005+n+ 2 = ( 1 + 30% ) un+1
Diminution de 40% des polluants en 2005+n+2 comparé à 2005+n+ 0 = ( 1 - 40% ) un+0
Donc un+2 = ( 1 + 30% )un+1 + ( 1 - 40% ) un+0
c-à-d un+2 = 1,3 un+1 - 0,4 un+0
c-à-d un+2 = 1,3 un+1 - 0,4 un pour tout n dans IN
Conclusion : On a bien l'égalité.
un+2 = 1,3 un+1 - 0,4 un pour tout n dans IN
2. Soit la suite ( v ) définie par :
vn = a ( 0,8)n + b ( 0,5)n
a. Déterminer les valeurs de a et b pour que :
v0 = 300 et v1 = 180 .
Nous allons prendre le cas de n = 0 puis celui de n = 1.
• v0 = 300 donne v0 = a ( 0,8)0 + b ( 0,5)0 = 300
c-à-d a + b = 300
• v1 = 180 donne v1 = a ( 0,8)1 + b ( 0,5)1 = 180
c-à-d 0,8 a + 0,5 b = 180
Il suffit de résoudre le système:
a + b = 300 L1
0,8 a + 0,5 b = 180 L2
L2 ← L2 - 0,8 L1
c-à-d
a + b = 300 L1
- 0,3 b = - 60 L2
c-à-d
a = 300- b L1
b =200 L2
Conclusion : a = 100 et b = 200
v n = 100 ×( 0,8)n + 200 ×( 0,5)n pour tout n dans IN
Voir la seconde feuille pour voir la suite