INFO EX 1 DS N° 5 1S 1

INFO  SUR   LE   DS      n°5               24 janvier 2009         1S

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  EXERCICE. 1            Soit la fonction f : x → (  x - 1 )² / (  x + 1 )  définie sur

                                       l'intervalle  ] -1 , + ∞ [ .

                     1. Trouver la limite de f en - 1.  

                      On a :     lim ( x - 1 )²  = 4           lim ( x + 1 ) = 0+

                                        x → - 1                       x → - 1 

                                                                            x > - 1

                      Ainsi:       lim f( x ) = 4  / 0=  +∞

                                        x → - 1    

                                         x > - 1

 

 

 

 

 

 

                   Conclusion:       lim f( x ) =   + ∞ 

                                                   x → - 1    

                                                   x > - 1

  

 

 

                     2. En déduire l'existence d'une asymptote verticale  Δ pour la courbe de f.   

                        La limite découverte dans la question 1. permet de dire:

                       Conclusion:   La droite verticale Δ : x = - 1  est une asymptote pour la

                                                  courbe ( C ) de f.

                    3. Trouver la limite de f  en + ∞ .

                      On a :      f( x ) = ( x² - 2 x + 1 ) / ( x + 1 )     pour  x > - 1

                       f est une fonction rationnelle.

                      Soit   x > - 1 .

                      Le quotient de ses termes de plus haut degré est  x² / x.

                      Donc le quotient simplifié de ses termes de plus haut degré est  x.   

                      Mais       lim  x = + ∞

                                      x → + ∞

                     Conclusion:   lim f =  + ∞

                                                x →  + ∞    

                4. Déterminer deux  réels a , b  tels que :

                        f( x ) = a x + b +  4 / (  x + 1 )   pour tout x dans   ] - 1 , + ∞ [ .

 

x² - 2 x + 1 |  x + 1
- ( x² + x ) |x - 3
- 3 x + 1 |
- ( - 3 x  - 3 ) |
       4 |

                       Ainsi :           f( x ) = x - 3   + 4 / ( x + 1 )   pour x > - 1.

                   Conclusion:     a = 1    b = - 3

             5. Etablir que la courbe ( C ) admet comme asymptote oblique

                    la droite D: y = x - 3  en + ∞. 

                       Soit    x > - 1 .

                      On a     f( x ) - ( x - 3 )    =   4  / ( x + 1 )

                      Or    lim   ( 4  / ( x + 1 ) )  = 0

                                x → + ∞

                          D'où:      lim   ( f( x ) - ( x - 3 ) )  = 0

                                x → + ∞

              Conclusion : La droite D: y = x - 3 est bien une asymptote oblique  

                                        pour la courbe ( C ) de f en + ∞.

               

                       6. Donner le signe de 4 / (  x + 1 )  quand  x est dans  l'intervalle ] - 1  , + ∞ [ . 

                        En déduire les positions relatives de D et ( C ) . 

                         4  / (  x + 1 )    est du signe de x + 1 pour x > - 1.             

                        Or   x + 1 > 0  quand x > - 1.

                        Donc :    4  / (  x + 1 ) > 0    pour x > - 1.             

                        Ainsi :   f( x ) - x > 0     quand    x > - 1

                 Conclusion:  4 / (  x + 1 ) > 0   pour tout   x > - 1.     

                                         ( C ) est au dessus de D sur  ] - 1 , + ∞ [ . 

                    7. a. Montrer que la fonction dérivée f ' de f est :

                           On a : f  : x →  x - 3  +  4 /  (  x + 1 )    sur l'intervalle  ] - 1 , + ∞ [ . 

                         Soit   les fonctions      u : x → x - 3

                                                            et     v: x  → x + 1

                           u et v sont définies et dérivables dans l'intervalle  ] - 1 , + ∞ [ .

                           v  y est non nulle.

                                                                     u  '  : x → 1

                                                            et     v ' : x  → 1

                         Comme  f = u + 4 / v   la fonction f est dérivable dans  ] -1, + ∞ [ .

                              f '   =   u'   -  4  v ' / v²

                           On a :    f '( x ) =   1 -   4 / ( x + 1 )²    pour tout x > - 1.

                    c-à-d        f '( x ) =  (  (1 + x ) ²  -   2²  )  / ( x + 1 )²    pour tout x > - 1.

                       c-à-d     f '( x ) =   (x  - 1  )   ( x + 3 )   / ( x + 1 )²    pour tout x > - 1.

                      Conclusion : On a bien le résultat.

                                 f '( x ) =  ( x - 1 )  ( x + 3 )   / ( x + 1 )²    pour tout x  > - 1.

 

                        b. Trouver le signe de  f ' ( x ) pour tout x dans   ] - 1 , + ∞ [ .

                            Donner le tableau de variations de f.

                            Le signe de f '( x ) est celui de ( x - 1 ) ( x + 3 )  pour tout x dans

                             ] - 1 , +  ∞ [ .                            

x - 1                                                 1                                                   +
f ' ( x ) ||                      -                           0                     +

                             Donnons le tableau de variation.

x - 1                                                 1                                                   +
f ' ( x )   ||                      -                           0                     +
f ( x ) ||                ↓                                 0                       ↑  
 

                     8. Soit Ω  le point d'intersection des droites D et Δ . 

                         Trouver les coordonnées de Ω

                           Considérons   le système:       x = - 1

                                                                                  y = x - 3

                              Ce système donne :   x = - 1   et     y = - 4  .

                         Conclusion :   On a le point  Ω ( - 1; - 4 ) .

                     9. On pose :   x = X -  1 

                                              y = Y  -  4

                        Montrer que l'équation  y = f( x ) pour tout x dans  ] - 1 , + ∞ [

                             devient  Y =  X +  4 / X   pour tout X dans  ] 0 , + ∞ [ .

                       y = f( x )      avec x > - 1

                     s'écrit :     y =  x - 3 + 4 / ( x + 1 )     avec x > - 1 ..

                     c-à-d      Y - 4   =    X - 1 +    4 / ( X - 1 + 1 )    avec  X > 0.

                      c-à-d     Y =    X +   4  / X      avec  X > 0 .

                        Conclusion: On a bien le résultat.

                  10. Quel  est  le points A  de  la courbe ( C ) où la tangente est horizontale?

                     On a : A( 1 ; 0 ) .

                     En effet :  f ' (  1 ) = 0

                                        f  (  1 ) = 0                   

                  11. Courbe.

                  12. Donner une équation de la tangente à la courbe de f au point

                         d'abscisse 0.

                           On a :      y = f '( 0 ) ( x - 0 ) + f( 0 )

                          Mais         f( 0 ) = 1   et f ' ( 0 ) = - 3

                          Conclusion:  la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0 est

                                       d'équation :  y =  - 3 x + 1.

                  13.  Discuter graphiquement le nombre de solutions de l'équation f( x ) = α

                         dans  l'intervalle  ] - 1 , + ∞ [  où  α  est un nombre réel.

                     On a :           •  Pour α > 0  Il y a deux points d'intersection entre ( C ) et la droite d'équation y =  α.

                                               Il y a donc deux solutions pour l'équation y = α.

                                            •  Pour α = 0  Il y a un seul  point d'intersection entre ( C ) et la droite d'équation y =  α.

                                                  Il y a donc une seule solution  pour l'équation y = α.

                                           •  Pour α < 0  Il  n' y a aucun point d'intersection entre ( C ) et la droite d'équation y =  α.

                                              Il  n' y a donc aucune  solution pour l'équation y = α.