INFO DV MAISON 1ES-L 17/12/11

                              INFO       DV          MAISON                        1ES-L         17/12/11                   

          EXERCICE 1

               Soit la fonction polynôme     f : x → x2  - 4 x

               Soit ( P ) sa courbe représentative dans un repère

               orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) ).

               ( Unité graphique : 1 cm )

                1. Donner les coordonnées du sommet S de la parabole ( P ).

                2. Dans le nouveau repère orthonormal    ( S; vect( i ) , vect( j ) )

                    quelle est l'équation de la parabole ( P )?

                    Tracer ( P ).

               3 . Soit le point A de ( P ) d'abscisse 1.

                    Donner l'équation réduite de la tangente ( T ) à ( P ) au point A.

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   Réponse:  

                     dves.jpg

               1. Le sommet de ( P ) est le point S( 2 ; - 4 ).

                    En effet :

                        Le sommet de  ( P ) est le point S( - b / ( 2 a ) ; - Δ / ( 4 a ) ).

                     Ici      a = 1         b = - 4    c = 0

                     On a :       Δ = b2 - 4 a c

                     c-à-d        Δ = ( - 4 )2 = 16

                    On a :       - b / ( 2 a ) = - ( - 4 /  2  ) = 2

                                    - Δ / ( 4 a ) = - 16 / 4 = - 4                

                  Ainsi  le sommet de ( P ) est :     S( 2 ; - 4 )

               2 . Recherche la la nouvelle équation de ( P ) dans  le nouveau repère 

                    d'origine S .

                       L'équation nouvelle de ( P ) sera   Y = X2   

                 En effet :

                On a:     Y = a X2       La nouvelle équation de ( P ) d'après le cours.

                       c-à-d      comme a = 1      Y = X2  

 
                 Voici la courbe ( P ) : y = x2 - 4 x

                  On peut aussi changer de repère en prenant ( S , vect( i ) , vect( j ) )                

             3. Recherche

                L'équation réduite de la tangente T à ( P ) au point A( 1 ; f( 1 ) 

               .   est : y = - 2 x - 1

                 En effet:

              T admet comme équation réduite   y = f ' ( 1 ) x + f ( 1 ) - f ' ( 1 ) ×1

              Or      f '( 1 ) = 2 ×1 - 4 = - 2

               et          f( 1 ) = 12 - 4 × 1 = - 3

           Ainsi  l'équation de ( T )   est :  y = - 2 x  -  3 - ( - 2 )

                                                    c-à-d       y = - 2 x - 1

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         EXERCICE 2

               Soit la fonction g : x → ( x + 2 ) / ( x - 3 )   

               définie dans  IR - { 3 } .

               Soit ( C ) sa courbe représentative dans le plan

               muni d'un repère orthonormal  ( O ; vect( i ) , vect( j ) ) .

            1.  Trouver  D , Dd   g ' .

            2. Donner l'équation réduite de la tangente ( Δ ) à ( C )

                 au point d'abscisse 0.

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   Réponse:

                                       courbedv17dec11.jpg

              1. Recherche de  D , Dd   g ' .

                  Soit les fonctions affines u : x → x + 2     et    v : x → x- 3

                  Les fontions u et v sont définies et dérivable IR - { 3 } et

                  v est non nulle dans IR - { 3 }.

                 Donc d'après un résultat de cours  la fonction  u / v   ,  c-à-d  g ,   est

                  définie et dérivable dans IR - { 3 }.

                   De plus:     g '  = (  u / v ) ' = ( v u ' - u v ' ) / v2

                       On a  u  ' : x → 1     et   v ' : x → 1

                    Soit x dans IR - { 3 }.

                   On a :    g ' ( x ) = ( ( x - 3 ) ×1 - ( x + 2 ) ×1 ) / ( x - 3 )2   

                  c-à-d        g ' (  x ) = - 5 / ( x - 3 )2    

              Conclusion :     Dg  = Dd = IR - { 3 }                       

                                  g ' : x → - 5 / ( x - 3 )

               2. Recherche de l'équation réduite de la tangente ( Δ ) 

                   à ( C )  au point A ( 0 ; g( 0 ) ).

              La tangente ( Δ ) à ( C ) au point d'abscisse 0 a pour équation réduite:

                     y = g '( 0 ) x + g( 0 )  - g '( 0 ) ×  0  .

                 Mais    g ' ( 0 ) =  - 5 / ( - 3 )2  = - 5 / 9   et   g( 0 ) = - 2 / 3

                Donc   on a :     

              Conclusion : La tangente à ( C ) au point 

               d'abscisse 0 est     Δ: y =( - 5 / 9)  x - ( 2 / 3 )

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     EXERCICE 3

          Le plan est muni d'un repère orthonormal  ( O ; vect( i ) , vect( j ) ) .

          Soit ( Γ ) la courbe de la fonction  h : x → a x2 + b x + c

           où  a , b , c  sont des  réels avec a non nul.

        1.  Déterminer  la fonction dérivée h '.

        2. Peut-on trouver a , b , c de façon que H passe par les points

            A ( - 1 ; 7 )  , B (  2 , 4  )  , C( 1 , 1 )   avec les tangentes en ces points

           de cœfficients directeurs respectivement :    - 7   ;    5  ;   1  ?

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        Réponse:

           1. Détermination de h '

                h est une fonction polynôme définie et dérivable dans IR.

               On a directement h ' : x → 2 a x + b

            Conclusion :   h ' : x → 2 a x + b        sur IR . 

           2.   Recherche de a , b , c .

                                     dv171211.jpg

    •   ( H )   passe par les points A ( - 1 ; 7 )  , B (  2 , 4  )  , C( 1 , 1 )

                   donne :

                   h ( - 1 ) = 7        h ( 2 ) = 4    h ( 1 ) = 1 

         Or

                h ( - 1 ) = 7       se traduit par     a - b + c = 7             L1

                h ( 2 ) = 4         se traduit par     4 a + 2 b + c = 4        L2

                h ( 1 ) = 1         se traduit par       a + b + c = 1            L3

         •  Les tangentes à ( H ) en A , B , C ont pour cœfficients directeurs

             - 7   ;     5   ;    1  respectivement.

             donne:     h ' ( - 1 ) = - 7       h ' ( 2 ) = 5        h ' ( 1 ) = 1           

              Or
              h ' ( - 1 ) = - 7   se traduit par        - 2 a + b = - 7         L4         

               h ' ( 2 ) = 5        se traduit par     4 a + b = 5              L5

               h ' ( 1 ) = 1       se traduit par        2 a + b = 1            L6         

           Ainsi a , b , c doivent vérifier les six équations.

           Nous avons donc un système à 6 équations et  trois inconnues a , b , c .

        ◊   Considérons les équations      L5    et    L6   .

              4 a + b = 5                L5

              2 a + b  = 1                L6

             Faisons     L5    ←    L5   -   L6

            On obtient :

                           2 a = 4                 L5

                           b = 1 - 2a               L6

              Alors      L5    donne    a = 2

             Puis         L6      donne   b = 1 - 4     c-à-d   b = - 3

          ◊  Vérifions que ces valeurs conviennent :

            Déjà   L4        est vérifiée   car en reportant on a:    - 2 × 2  - 3  = - 7

          ◊   En reportant dans  L3        on peut obtenir c.

                   2 - 3 + c = 1   

              d'où      c = 2  

            ◊    Regardons si   Let   L2    sont  vérifiées.

                 On a bien :          2 - ( - 3 ) + 2 = 7

                                 et       4 × 2  +2 ×( - 3 )  + 2  = 4

           Comme  les 6 égalités sont vérifiées quand 

           a = 2   b = - 3  et c = 2 on peut conclure.

              Conclusion : OUI   

                       h : x →  2 x2 - 3 x + 2