INFO DV MAISON 1ES-L 17/12/11
EXERCICE 1
Soit la fonction polynôme f : x → x2 - 4 x
Soit ( P ) sa courbe représentative dans un repère
orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) ).
( Unité graphique : 1 cm )
1. Donner les coordonnées du sommet S de la parabole ( P ).
2. Dans le nouveau repère orthonormal ( S; vect( i ) , vect( j ) )
quelle est l'équation de la parabole ( P )?
Tracer ( P ).
3 . Soit le point A de ( P ) d'abscisse 1.
Donner l'équation réduite de la tangente ( T ) à ( P ) au point A.
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Réponse:
1. Le sommet de ( P ) est le point S( 2 ; - 4 ).
En effet :
Le sommet de ( P ) est le point S( - b / ( 2 a ) ; - Δ / ( 4 a ) ).
Ici a = 1 b = - 4 c = 0
On a : Δ = b2 - 4 a c
c-à-d Δ = ( - 4 )2 = 16
On a : - b / ( 2 a ) = - ( - 4 / 2 ) = 2
- Δ / ( 4 a ) = - 16 / 4 = - 4
Ainsi le sommet de ( P ) est : S( 2 ; - 4 )
2 . Recherche la la nouvelle équation de ( P ) dans le nouveau repère
d'origine S .
L'équation nouvelle de ( P ) sera Y = X2
En effet :
On a: Y = a X2 La nouvelle équation de ( P ) d'après le cours.
c-à-d comme a = 1 Y = X2
Voici la courbe ( P ) : y = x2 - 4 x
On peut aussi changer de repère en prenant ( S , vect( i ) , vect( j ) )
3. Recherche
L'équation réduite de la tangente T à ( P ) au point A( 1 ; f( 1 )
. est : y = - 2 x - 1
En effet:
T admet comme équation réduite y = f ' ( 1 ) x + f ( 1 ) - f ' ( 1 ) ×1
Or f '( 1 ) = 2 ×1 - 4 = - 2
et f( 1 ) = 12 - 4 × 1 = - 3
Ainsi l'équation de ( T ) est : y = - 2 x - 3 - ( - 2 )
c-à-d y = - 2 x - 1
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EXERCICE 2
Soit la fonction g : x → ( x + 2 ) / ( x - 3 )
définie dans IR - { 3 } .
Soit ( C ) sa courbe représentative dans le plan
muni d'un repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) ) .
1. Trouver Dg , Dd g ' .
2. Donner l'équation réduite de la tangente ( Δ ) à ( C )
au point d'abscisse 0.
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Réponse:
1. Recherche de Dg , Dd g ' .
Soit les fonctions affines u : x → x + 2 et v : x → x- 3
Les fontions u et v sont définies et dérivable IR - { 3 } et
v est non nulle dans IR - { 3 }.
Donc d'après un résultat de cours la fonction u / v , c-à-d g , est
définie et dérivable dans IR - { 3 }.
De plus: g ' = ( u / v ) ' = ( v u ' - u v ' ) / v2
On a u ' : x → 1 et v ' : x → 1
Soit x dans IR - { 3 }.
On a : g ' ( x ) = ( ( x - 3 ) ×1 - ( x + 2 ) ×1 ) / ( x - 3 )2
c-à-d g ' ( x ) = - 5 / ( x - 3 )2
Conclusion : Dg = Dd = IR - { 3 }
g ' : x → - 5 / ( x - 3 )2
2. Recherche de l'équation réduite de la tangente ( Δ )
à ( C ) au point A ( 0 ; g( 0 ) ).
La tangente ( Δ ) à ( C ) au point d'abscisse 0 a pour équation réduite:
y = g '( 0 ) x + g( 0 ) - g '( 0 ) × 0 .
Mais g ' ( 0 ) = - 5 / ( - 3 )2 = - 5 / 9 et g( 0 ) = - 2 / 3
Donc on a :
Conclusion : La tangente à ( C ) au point
d'abscisse 0 est Δ: y =( - 5 / 9) x - ( 2 / 3 )
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EXERCICE 3
Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) ) .
Soit ( Γ ) la courbe de la fonction h : x → a x2 + b x + c
où a , b , c sont des réels avec a non nul.
1. Déterminer la fonction dérivée h '.
2. Peut-on trouver a , b , c de façon que H passe par les points
A ( - 1 ; 7 ) , B ( 2 , 4 ) , C( 1 , 1 ) avec les tangentes en ces points
de cœfficients directeurs respectivement : - 7 ; 5 ; 1 ?
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Réponse:
1. Détermination de h '
h est une fonction polynôme définie et dérivable dans IR.
On a directement h ' : x → 2 a x + b
Conclusion : h ' : x → 2 a x + b sur IR .
2. Recherche de a , b , c .
• ( H ) passe par les points A ( - 1 ; 7 ) , B ( 2 , 4 ) , C( 1 , 1 )
donne :
h ( - 1 ) = 7 h ( 2 ) = 4 h ( 1 ) = 1
Or
h ( - 1 ) = 7 se traduit par a - b + c = 7 L1
h ( 2 ) = 4 se traduit par 4 a + 2 b + c = 4 L2
h ( 1 ) = 1 se traduit par a + b + c = 1 L3
• Les tangentes à ( H ) en A , B , C ont pour cœfficients directeurs
- 7 ; 5 ; 1 respectivement.
donne: h ' ( - 1 ) = - 7 h ' ( 2 ) = 5 h ' ( 1 ) = 1
Or
h ' ( - 1 ) = - 7 se traduit par - 2 a + b = - 7 L4
h ' ( 2 ) = 5 se traduit par 4 a + b = 5 L5
h ' ( 1 ) = 1 se traduit par 2 a + b = 1 L6
Ainsi a , b , c doivent vérifier les six équations.
Nous avons donc un système à 6 équations et trois inconnues a , b , c .
◊ Considérons les équations L5 et L6 .
4 a + b = 5 L5
2 a + b = 1 L6
Faisons L5 ← L5 - L6
On obtient :
2 a = 4 L5
b = 1 - 2a L6
Alors L5 donne a = 2
Puis L6 donne b = 1 - 4 c-à-d b = - 3
◊ Vérifions que ces valeurs conviennent :
Déjà L4 est vérifiée car en reportant on a: - 2 × 2 - 3 = - 7
◊ En reportant dans L3 on peut obtenir c.
2 - 3 + c = 1
d'où c = 2
◊ Regardons si L1 et L2 sont vérifiées.
On a bien : 2 - ( - 3 ) + 2 = 7
et 4 × 2 +2 ×( - 3 ) + 2 = 4
Comme les 6 égalités sont vérifiées quand
a = 2 b = - 3 et c = 2 on peut conclure.
Conclusion : OUI
h : x → 2 x2 - 3 x + 2