INFO EX 2 DV n° 9 TS 7 mars 2015

             INFO   EXERCICE 2    DV n° 9  TS1

       EXERCICE 2

                   On considère la fonction f définie par :

                  Soit ( C ) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal

                 Unité graphique : 4 cm

           1. Déterminer une équation de la tangente ( T ) à la courbe de f au point d'abscisse 0.

              REPONSE:

                  Soit les fonction u : x → e^x − 1  et  v : x → x e^x + 1.

                Elles sont définies et dérivables dans l'intervalle [ 0 , + ∞ [ et la fonction v ne s'y annule pas.

                On a :  f  = u / v

                Ainsi la fontion f est dérivable dans l'intervalle [ 0 , + ∞ [.

                De plus:              f ' = ( v u ' − u v ' ) / v²  

                On a:   u ' : x → e^x    et    v ' : x → 1 e^x  +  x e^x   

                Soit  x ≥ 0.

            On a : :

              c-à-d

               Ainsi :  f ' ( 0 ) = 1 / 1 = 1                  car e⁰ = 1

              De plus    f( 0 ) = 0

                Conclusion : La tangente ( T ) a pour équation y = x

        2.a.Etablir que, pour tout x dans  l'intervalle [ 0 , +∞ [ on a :

                REPONSE:       

   b. Etudier le sens de variation de la fonction u  sur l'intervalle  [ 0 , +∞ [.

       En déduire le signe de u( x ) .

                   REPONSE:

                    La fonction  u: x →  e^x   − x e^x  − 1   est définie et dérivable dans l'intervalle 

                  [ 0 , +∞ [ comme somme et produit de telles fonctions.

                   Soit x ≥ 0.

                     u ' ( x ) =  e^x   −  e^x   − x e^x    =  − x e^x 

                     Ainsi u ' ( x ) est du signe de  − x.

                    Or  x ≥ 0.

                    Donc:             u ' < 0  sur  ] 0 , + ∞ [

                                           u ' ( 0 ) = 0

                   Conclusion:  la fonction u est strictement décroissante sur  [ 0 , +∞ [.

                   Mais:

                         u ( 0 ) =  e⁰   − 0 e⁰  − 1 = 1  − 0 + 1 = 0

                    Donc :  

            Conclusion :  u <  0  sur  ] 0 , + ∞ [           et    u ( 0 ) =  0

        c. Déduire des questions précédentes la position de la courbe ( C ) par

             rapport à la droite ( T ). 

                REPONSE:

                  Comme de plus  x + 1 > 0  et  x e^x + 1 > 0  pour tout x dans  [ 0 , + ∞ [

                    on a: 

      Conclusion:  ( C ) est en dessous de( T ) sur  ]0 , + ∞ [  .

             Le point O est commun.

  c. Déduire des questions précédentes la position de la courbe ( C ) par

      rapport à la droite ( T ).

          REPONSE:

    3. Tracer (T )et ( C ) .

            REPONSE:

     4. Montrer que pour tout réel positif x 

                 REPONSE:

               Soit x ≥ 0 .   

               On a :      

                       Conclusion : On a bien l'égalité.

         5. Déterminer une primitive F de f sur [ 0 , + ∞ [.

                   REPONSE:

            La  v : x → x + e^{−  x}     est une fonction définie et dérivable  sur   [ 0 , + ∞ [

            comme de telles fonctions. 

            Elle est aussi  strictement positive sur [ 0 , + ∞ [    car exp > 0  sur IR.

           comme somme de telles fonctions.

           On a:     v ' : x  → 1  −  e^{−  x}      

            Ainsi:                f = v ' / v

             Donc la fonction ln o v est une primitive de f sur [ 0 , + ∞ [  .

                   Conclusion:   La fonction F : x → ln(  x + e^{−  x}   ) est 

                          une primitive de f sur [ 0 , + ∞ [  .

           6. Donner une valeur décimale au mm² près de l'aire A.

                       REPONSE:

                  Le domaine D est l'ensemble des points M ( x , y ) tels que:

                                           0 ≤ x ≤  1

                                        f( x )  ≤  y ≤  x

                 Son aire vaut:

                   Une primitive de la fonction x → x   est   x → 0,5 x²   . 

                   Donc :  

                                             A ≈ 2,988   cm²  

                            Conclusion :         A ≈ 2,99   cm²    

         7. Pour tout entier naturel n , on pose:

                      On a :    v_n = F( n + 1 ) − F ( n )

                 a. Calculer v₀ , v₁ et v₂.

             •  v₀ = F( 1 ) − F( 0 ) =  ln( 1 + e − 1 ) 

                   v₀ =  ln( 1 + e − 1 )                          v₀ ≈ 0,313        

              •   v₁ = F( 2 ) − F( 1 ) =  ln( 2 + e ^{− 2} )  −  ln( 1 + e ^{− 1} )          

                   v₁ =    ln( 2 + e ^{− 2} )  −  ln( 1 + e ^{− 1} )               v₁ ≈ 0,445

              •   v₂ = F( 3 ) − F( 2 ) =  ln( 3 + e ^{− 3} )  −  ln( 2 + e ^{− 2} ) 

                   v₂  =    ln( 3 + e ^{− 3} )  −  ln( 2 + e ^{− 2} )            v₂ ≈ 0,356    

               b. Interpréter graphiquement v_n .

                  Comme la fonction f est définie continue et positive

                  sur l'intervalle [ n , n + 1 ] on peut interpréter v_n  comme l'aire,

                  en unités d'aire,  du domaine sous la courbe de f.

                 c. On suppose que f est décroissante sur l'intervalle [ 2 ,+ ∞ [.

                        Montrer que, pour tout entier n tel que n ≥ 2 on a :

                           REPONSE:

                       La fonction est définie et continue car dérivable sur l'intervalle [ 2 ,+ ∞ [.

                       Comme elle  y est décroissante, elle est bornée sur l'intervalle [ n ,n + 1 ]

                       par f ( n ) et f( n + 1 ).

                         Ainsi :

                             pour tout entier naturel n tel que n ≥ 2

             Donnons le sens de variation de la suite ( v_n ) sur les entiers naturels n ≥ 2 .

                           Soit n dans IN tel que n ≥ 2 :

                          On a :                                           f( n + 1 ) ≤  v_n    ≤ f( n)

                   et aussi                f( n + 2 ) ≤   v_n+1    ≤   f( n+1)

                          Donc                                 v_n+1  ≤ v_n     

                               Conclusion: La suite ( v_n ) est décroissante sur  IN− { 0 ; 1 } 

               d. Donner la limite de la suite ( v_n ) .

                  • Cherchons d'abord la limite de f en  + ∞.

                        On a :

                   •     On a vu que :    f (n + 1 ) ≤ v_n ≤ f( n )    pour tout entier naturel n ≥ 2

                        De plus :

                        lim f( n + 1 ) = lim f( n ) = lim f( x ) = 0

                       n → + ∞          n → + ∞    x → + ∞